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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
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[quote="Nima93"]Hallo und danke erstmal für die Mühe! Die erste Formel ist völlig klar, die zweite verstehe ich allerdings auch nicht so ganz... wenn ich ein skalarfeld drehe, drehe ich doch jeden punkt um eine achse, das heißt es müsste doch dasselbe passieren, wie bei einem einzelnen Vektor? Und warum wird ein Vektorfeld mit der inversen Matrix mutlipliziert? Das wäre doch sozusagen die Rückdrehung einer durch die Matrix R verursachten Drehung?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Sep 2026 17:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… ein einfacheres Beispiel …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Man betrachte ein Integral I[f] über einem Integranden f(x) auf einer Mannigfaltigkeit M. Man nehme an, dass für ein f auf M Koordinaten eingeführt werden können, so dass f(x') = f(x) gilt, wobei x' = g•x der Wirkung eines Elementes g aus einer Gruppe G entspricht; d.h. G•x ist der Orbit von x bzgl. G. <br /> <br />f(x') = f(x) entspricht der Eichsymmetrie. <br /> <br />Ist vol(G) endlich, so stört dies im Prinzip nicht. Im Falle eines Pfadintegrals "ist das Volumen jedoch unendlich" d.h. es bedarf einer Eichfixierung. Diese besteht darin, eine Bedingung h(x) = 0 zu finden, die über alle x und alle G für jeden Orbit exakt eine Lösung hat. <br /> <br />Das führt auf ein Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I[f] = \int_M \Delta_h \, \delta(h) \, f"> <br /> <br />wobei die delta-Funktion das Integral auf h = 0 einschränkt, und Delta die Invarianz des Maßes bzgl. G auf der Untermannigfaltigkeit h = 0 sicherstellt. <br /> <br />Das Problem ist nun, dass dies – übertragen auf den Fall nicht-abelscher Eichtheorien – nachweislich nicht funktioniert. Für das einfache Beispiel bedeutet dies, es existiert kein h, für das gilt: G•x enthält nur eine Lösung für h, und Delta ist strikt positiv. <br /> <br /> <br />Leider zeigt sich das Problem in unterschiedlicher Weise je nach gewählter Eichung. In vielen Büchern zur QFT wird eine Lorentz-kovariante Eichung gewählt, die das eigtl. Problem verschleiert. Das besteht darin, dass die Komponente A° des Eichfeldes nicht-dynamisch ist, sondern einem Lagrange-Multiplikator entspricht, der einen Constraint generiert. Letzterer entspricht dem (verallgemeinerten) Gaußschen Gesetz, und dieses wiederum ist eng verwandt mit dem Generator zeitunabhängiger "residual" Eichtransformationen, die A° = 0 respektieren. <br /> <br />Die erste Eichfixierung entspricht daher der Forderung A° = 0, die zweite der Forderung, dass G physikalische Zustände annihiliert. Der physikalische Hilbertraum ist also gerade der Kern von G <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G \, |\psi\rangle_\text{phys} = 0"> <br /> <br />Diese Bedingung ist außerdem zeitunabhängig, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[H, G] = 0"> <br /> <br />Damit entsprechen die Größen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q[g] = \int g \, G "> <br /> <br />erhaltenen Ladungen, der physikalische Hilbertraum dem Singulet-Sektor. <br /> <br />Das funktioniert so in der QED und QCD, und zwar nicht nur störungstheoretisch. <br /> <br />Ich halte diese zweite Beschreibung des Problems, mit zwei klaren physikalischen Bedeutungen der Eichfixierungen A° = 0 und G ~ 0 für sehr sinnvoll.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Sep 2026 17:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jakito hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind.</td> </tr></table><span class="postbody">Ich lese das mal als "nicht ehrgeizig genug", aber nicht auf konzeptioneller Ebene, sondern auf der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Letzteres kann ich kaum beurteilen. <br /> <br />Der perturbative Ansatz hat in den letzten Jahrzehnten gewaltige Fortschritte gemacht, da stecke ich nicht drin. Vielleicht ist meine Unterscheidung so sinnlos wie die zwischen holomorphen Funktionen und Potenzreihen; wir wissen, dass das identisch ist (was zu Beginn keineswegs offensichtlich war) <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Von der Gribov Ambiguity hatte ich noch nie gehört, obwohl das ja gerade eines meiner Themen ist, dass Quotientenbildung oft gar nicht so problemlos ist, wie man sich das wünscht. Den Artikel zur Gribov Ambiguity konnte ich bis zum Ende lesen, aber als ich dann mehr über BRST quantization lernen wollte, war der Wikipedia Artikel doch zu viel für mich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Vergiss die BRST-Quantisierung. <br /> <br />Die Gribov-Ambiguity ist zunächst das Pfadintegral-Analogon zu "Jacobian = 0". Tatsächlich ist es mehr als das, weil es auch Mehrdeutigkeiten gibt, wobei keine Determinante verschwindet. <br /> <br />BRST ist eine fancy-Methody um den Jacobian zu schreiben. Das kann man mit Fadeev-Popov und Grassmann-Feldern einfacher haben, löst aber nicht "Jacobian = 0". <br /> <br />Ich schreibe mal ein einfacheres Beispiel auf.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jakito</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Sep 2026 16:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind.</td> </tr></table><span class="postbody">Ich lese das mal als "nicht ehrgeizig genug", aber nicht auf konzeptioneller Ebene, sondern auf der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nicht-perturbative Methoden auf dem Gitter leiden unter dem Fermion-Doubling, das m.W.n. nicht wirklich gelöst ist. Die Eichfixierung für nicht-abelsche Eichtheorien ist m.W.n. aufgrund der Gribov-Kopien nicht endgültig verstanden. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fermion_doubling" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Fermion_doubling</a> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gribov_ambiguity" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Gribov_ambiguity</a></td> </tr></table><span class="postbody">Das Problem mit dem Fermion-Doubling hatte ich auch von anderen schon gehört. Ist halt mal wieder etwas, was nicht schön ist, aber nicht notwendigerweise ein Showstopper oder falsch. <br />Von der Gribov Ambiguity hatte ich noch nie gehört, obwohl das ja gerade eines meiner Themen ist, dass Quotientenbildung oft gar nicht so problemlos ist, wie man sich das wünscht. Den Artikel zur Gribov Ambiguity konnte ich bis zum Ende lesen, aber als ich dann mehr über BRST quantization lernen wollte, war der Wikipedia Artikel doch zu viel für mich. <br /> <br /> <br />Insgesamt sehe ich Deine Reaktion als eine Betonung der Wichtigkeit der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen. Auch "konzeptionell ehrgeizige" Arbeiten werden auf dieser konkreten Ebene kaum mehr reißen können, als die bislang besten bekannten Workarounds für diese unschönen Sachen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Sep 2026 23:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jakito hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen.</td> </tr></table><span class="postbody">Was hältst Du von <a href="https://arxiv.org/abs/1201.2714" target="_blank" class="postlink">How I Learned to Stop Worrying and Love QFT</a>? Zu wenig und zu irrelevant? Oder mathematisch immer noch zu unsauber? Oder konzeptuell nicht ehrgeizig genug?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Alles, was die perturbativen Methoden betrifft, kann ich aus der eigenen Praxis wenig beurteilen. <br /> <br />Ein paar Gedanken: Es ist keine mathematisch rigoros konstruierte und zugleich nicht-triviale QFT in 4 Dimensionen bekannt; nur dim < 4, oder nicht wechselwirkend = frei = trivial. Das Pfadintegral ist nicht definiert; das euklidische Pfadintegral kann m.W.n. definiert werden, aber die Gültigkeit der Wick-Rotation ist nicht bewiesen. <br /> <br />2.3 und 2.4 erklärt ganz gut, unter welchen Umständen asymptotische Reihen verwendet werden können; das Argument funktioniert jedoch nur, wenn man die exakte Lösung kennt. In der QFT ist das nicht der Fall, es bleibt das Prinzip Hoffnung, siehe 2.5. <br /> <br />Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind. Nicht-perturbative Methoden auf dem Gitter leiden unter dem Fermion-Doubling, das m.W.n. nicht wirklich gelöst ist. Die Eichfixierung für nicht-abelsche Eichtheorien ist m.W.n. aufgrund der Gribov-Kopien nicht endgültig verstanden. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fermion_doubling" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Fermion_doubling</a> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gribov_ambiguity" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Gribov_ambiguity</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jakito</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2026 23:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen.</td> </tr></table><span class="postbody">Was hältst Du von <a href="https://arxiv.org/abs/1201.2714" target="_blank" class="postlink">How I Learned to Stop Worrying and Love QFT</a>? Zu wenig und zu irrelevant? Oder mathematisch immer noch zu unsauber? Oder konzeptuell nicht ehrgeizig genug? <br /> <br />Konzeptuell ehrgeiziger ist eventuell <a href="https://arxiv.org/abs/2608.27543" target="_blank" class="postlink">Reverse Quantum Mechanics</a>. So steht im Abstract:</span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">The standard Hilbert-space formulation conflicts with basic physical requirements, while a minimal topological modification can solve these problems. The ensemble space, rather than the pure-state space, distinguishes classical from quantum systems.</td> </tr></table><span class="postbody">und später im Text <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">As we will see, Reverse Physics for quantum mechanics is significantly harder: the standard postulates do not neatly correspond to separate physical assumptions; in fact, there is a significant mismatch between the mathematical definitions and the physical objects they supposedly represent. No perfect interpretation or reconstruction of quantum mechanics, then, is possible within the current established mathematical framework. Since this final goal is not obtainable, we will use ...</td> </tr></table><span class="postbody">Was er macht scheint nicht schlecht, aber ein bisschen in der Art von: "Solange ... kann man nicht Vollgas geben, sondern muss erstmal ..." <br /> <br />Eigentlich müsste einiges von dem, was er macht und schreibt im Sinne von Yoshi2000 sein, aber ... so kommt man ja kaum vom Fleck.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2026 23:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es geht dabei vielleicht auch um die Frage welche Erwartung man an die Physik stellt. <br />Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft. <br />Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nun bin ich tatsächlich der Meinung, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft, und stimme dir <span style="font-style: italic">in dieser Hinsicht auch zu</span>, dass dies ein mathematisch klareres Bild erfordert. Aber das ist ein Randthema, und damit muss man nicht jeden behelligen. <br /> <br />Generell bin auch der Meinung, dass die mathematische Qualität guter Lehrbücher i.A. ausreichend ist. Es ist nicht unbedingt notwendig, den vollständigen formalen Rahmen darzustellen, wichtig ist, dass er existiert, und dass man Themen dort verorten kann, wenn die Notwendigkeit oder das Interesse besteht. <br /> <br />Außerdem haben wir – wie oben gesagt – das grundlegende Problem, dass wir ein mathematisch sehr präzises Bild der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie haben, diese beiden Disziplinen m.M.n. jedoch überholt sind, was die Ontologie betrifft. Und das beste Bild, das wir physikalisch haben – die Quantenfeldtheorie – hat kein Problem mit unsauberen Darstellungen, sondern entweder <br />a) mit mathematisch hochproblematischen jedoch physikalisch zutreffenden Darstellungen, oder <br />b) mit mathematisch sauberen jedoch physikalisch trivialen und daher irrelevanten Darstellungen im Rahmen aQFTF. <br /> <br />Mathematisch präzise Darstellungen der nicht-relativistischen Quantenmechanik liefern ontologisch nichts interessantes da physikalisch überholt; mathematisch präzise Darstellung der relativistischen algebraischen Quantenfeldtheorie liefern (zumindest bisher) in vier Dimensionen keine wechselwirkenden Theorien. Deswegen brauchen wir keine saubereren Darstellungen von Theorien, die uns physikalisch nicht weiterbringen, sondern neue Ansätze, die dieses Potential haben. <br /> <br />Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jakito</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2026 22:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft.</td> </tr></table><span class="postbody">Ich bin zwar Instrumentalist, aber was hat das damit zu tun? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das?</td> </tr></table><span class="postbody">Ich finde, bei meinen <a href="https://drive.google.com/folderview?id=0B6x6GQ82vuH_YnE2STNKZXU1cUk" target="_blank" class="postlink">Geometrischen Betrachtungen bei klassischen Differentialoperatoren</a> habe ich einst in Abschnitt "2.1 Objekte und ihr Transformationsverhalten" ein wunderbar klares Bild der Objekte gezeichnet, insbesondere "Abbildung 7: Wirkung der Transformation" gefällt mir auch heute noch auf Anhieb. (Auch "Abbildung 9: Kanonische Begradigung" finde ich immer noch wunderbar.) Im Prinzip will man doch schnell zu schönen interessanten Themen vorstoßen, und den Leser nicht schon bei den Definitionen der betrachteten Objekte verlieren. <br /> <br />Außerdem geht es unausgesprochen noch um was ganz anderes: Ich versuche dem Leser zu vermitteln, wie ich mir die Objekte, die Rechnungen mit ihnen, und die Formeln und Theoreme in meinem Kopf vorstelle. Deshalb schweige ich ganz lange zu alternierenden Differentialformen, und erwähne sie erst wo sie wirklich relevant sind. Denn ich kann mir Objekte mit 2^n Komponenten eben nicht mehr anschaulich in meinem Kopf vorstellen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Sep 2026 21:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es liegt vermutlich daran, dass du nie wirklich Physik betrieben hast, sondern immer nur kopfschüttelnd den Physikern dabei zugesehen hast, wie sie das machen. <br /> <br />Wenn ein Ballet-Trainer die Bewegungen eines Thomas Müller analysiert, kommt er auch zu der Auffassung, dieser mache ganz viel falsch, tut er aber im Rahmen seiner Sportart nicht. <br /> <br />Evtl. gibt es da eine grundlegende Inkompatibilität in der Denkweise.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es geht dabei vielleicht auch um die Frage welche Erwartung man an die Physik stellt. <br />Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft. <br />Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2026 10:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Erst definierst du die Objekte, dann kannst du untersuchen wie sie sich transformieren. Das ist meiner Meinung nach die richtige Reihenfolge.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und genau das hat bei Dirac so nicht funktioniert. <br /> <br />Dirac wollte eigentlich ein anders Problem lösen, er wollte keine Spin-1/2 Felder und Antiteilchen einführen, sondern er wollte von der Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit wegkommen. Vermutlich wollte er auch keine mehr-komponentigen Größen einführen, er hat lediglich erkannt, dass er das tun muss, weil ihm andernfalls die Algebra nicht aufgeht. <br /> <br />D.h. der erste Ausgangspunkt, nämlich erst die Größen psi dazu definieren, war nicht möglich. <br /> <br />Hat man erkannt, dass man mehr-komponentige Größen braucht (also in dem Fall Matrizen über reellen oder komplexen Zahlen), dann muss man <br />1) deren Antikommutator fordern <br />2) und deren Transformationseigenschaft <br />denn beides ist ja durch die Eigenschaften der Differentialgleichung vorgegeben. <br /> <br />Für die Gleichung brauchte er vier Matrizen, also sollte man ihn nicht dafür kritisieren, dass er nicht erst alle 16 definiert hat. <br /> <br /> <br />Hätte es nun bereits alle Darstellungen der Lorentz- und Spin-Gruppen und Cartan-Algebren gegeben, dann hätte er das entsprechende Mathebuch rausgeholt und sukzessive einige Darstellungen durchprobiert. Nachdem es dieses Mathebuch aber nicht gab (oder weil es ihm nicht bekannt war), musste er sozusagen die Rohfassung des einführenden Kapitels selber schreiben. <br /> <br /> <br />Wie sollten man das aus heutiger Sicht besser machen? <br /> <br />Meines Erachtens nicht, dass man Physiker erst mal wochenlang Elie Cartans Werk einzutrichtern versucht <br /> <br /><a href="https://www.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf" target="_blank">https://www.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf</a> <br /> <br />sondern dass man exakt Dirac Weg nachvollzieht, weil man dabei etwas Entscheidendes über physikalisches Denken lernt: wie gelange ich von einigen festen und einigen zur Disposition stehenden Annahmen schrittweise und auf Basis physikalischer Argumente zu einem erweiterten Formalismus, der neue physikalische Probleme beschreibt bzw. löst? <br /> <br />Würde man nur ein gutes Mathematikbuch zitieren, würde genau das verloren gehen, wobei außerdem immer noch die offene Frage bestehen bleibt, welche Darstellung es denn nun genau sein soll, das kann einem der Mathematiker auch nicht sagen. Hätte Dirac nicht seinen Weg eingeschlagen und wäre ihn zu Ende gegangen, hätte er auch den Nobelpreis nicht bekommen (Cartan hat jedenfalls keinen gekriegt) <br /> <br />Das alles heißt nun nicht, dass man das heute nicht in einer guten Darstellung abschließend zusammenfasst, an der mathematischen Präzision nachbessert und ggf. auf reine Mathematik verweist. <br /> <br /> <br />An den folgen Papieren wird übrigens noch etwas klar: <br /> <br /><a href="https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/117/778/610/2242/The-quantum-theory-of-the-electron" target="_blank">https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/117/778/610/2242/The-quantum-theory-of-the-electron</a> <br /><a href="https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/118/779/351/2298/The-quantum-theory-of-the-Electron-Part-II" target="_blank">https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/118/779/351/2298/The-quantum-theory-of-the-Electron-Part-II</a> <br /> <br />Die Einführung der Spinoren ist Kinderkram im Vergleich zu den bereits hier präsentierten physikalischen Ergebnissen. Und daran hat sich auch in 100 Jahren nichts geändert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2026 09:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Deswegen finde ich die Quantenfeldtheorie auch unbefriedigend <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" />. Bei den QFTs ist eh noch nicht das letzte Wort gesprochen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nun, eines der Millennium-Probleme dreht sich genau darum. <br /> <br />Wenn man QFTs mathematisch auf ein konsistentes Fundament stellen könnte, wäre das sicher interessant. Physikalisch ist es vermutlich irrelevant, denn als effektive Theorien funktionieren sie ohnehin, und ob QFTs bis zu beliebigen Skalen die richtige Beschreibung der Natur darstellen, darf unabhängig von der Mathematik bezweifelt werden. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich weiß nicht wie Pauli und Dirac damit umgegangen sind, aber es fällt unter dieselbe Kategorie wie Tensor. Man definiert es nicht und betrachtet das Transformationsverhalten, was sich von dem der Tensoren unterscheidet statt eine saubere Behandlung über Darstellungstheorie und Clifford Algebren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aber warum genau? <br /> <br />Dirac betrachtet 4*4 Matrizen die sich unter Lorentz-Transformationen wie Vektoren transformieren, und findet 4-Tupel, die letztlich Elektronen und Positronen beschreiben. <br /> <br />Die Definitionen und Berechnungen dazu sind mathematisch vollständig korrekt und konsistent. Dass Sie nicht innerhalb des von dir genannten Rahmens verortet sind, ist vielleicht ein mathematischer Makel, physikalisch zunächst völlig irrelevant. Es bleibt für viele auch irrelevant, weil kein unmittelbarer zusätzlicher physikalischer Nutzen aus dem von dir genannten Rahmen folgt. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich verstehe, dass historisch die Dinge nicht so klar sind, wenn man Neuland betritt und man sich empor irrt, aber muss man Jahrzehnte später, wenn man diese Dinge besser verstanden hat, in der Bildung den historischen Weg als Vorbild nehmen? Auch historische Artefakte wie Welle-Teilchen-Dualismus oder "relativistische Massenzunahme" sind in der Lehre nicht totzukriegen. <br />Über die Jahre werden Begriffe geschärft und diese geschärften Begriffe sollten dann auch Einzug in die Lehre finden, während historischer Ballast abgeworfen werden sollte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Da stimme ich dir absolut zu, deine Kritik an den hier genannten Punkten ist völlig berechtigt. <br /> <br />Aber man sollte aufpassen, nicht das Kind mit dem Bade auszuschütten. Ich habe gerade mal wieder in den Weinberg I reingeschaut. Man merkt dem Buch an, dass es von einem Praktiker geschrieben wurde. Lorentz-Symmetrie und Spinoren werden im wesentlichen so eingeführt, wie man das allenthalben in der Physik kennt, also vermutlich nicht so, wie der Mathematiker das erwartet. Aber das ist eben für den Physiker kein historischer Ballast, sondern man darf damit in der QFT heute exakt so rechnen wie schon zu Feynmans Zeiten. Es sind schlicht nicht die Probleme, die die Physiker mit der QFT haben, oder andersherum, eine andere mathematische Darstellung dieser Konzepte <span style="font-style: italic">ist</span> für die meisten Physiker Ballast und löst für diejenigen, die heute an den Grundlagen arbeiten, deren Probleme trotzdem nicht. <br /> <br />Es ist ja auch keine Frage der absoluten Bewertung sondern eine der Praktikabilität und Notwendigkeit innerhalb des jeweiligen Fachbereichs. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Muss man nach den Arbeiten von Schwartz, Gelfand et al wirklich noch die Deltafunktion und verallgemeinerte Eigenzustände in der Physik so behandeln? Für mich gehören auch zu jeder guten Quantenmechanikvorlesung Maßtheorie, POVMs, Sobolevräume und das Spektraltheorem.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aufgrund der Dichte des Stoffs wäre das wohl erst QM III. Ich habe selbst zu QM I und II Übungsgruppen und Seminare betreut, und weiß, dass wahrscheinlich 80% der Leute gerade mal so mit dem Stoff zurechtkommen. <br /> <br /><span style="font-style: italic">Der eigentliche Fehler ist ein ganz anderer!</span> <br /> <br />Es ist völlig irrelevant, wie man mit der delta-Funktion und ebenen Wellen mathematisch genau umgeht, das Problem ist, dass das Märchen der "verallgemeinerten Eigenzustände" aus physikalischen Gründen Blödsinn ist. Es gibt in der Natur ganz sicher keine ebenen Wellen sondern nur Wellenpakete, und genausowenig gibt es delta-Funktionen im Impulsraum. Beides sind nur idealisierte Rechenwerkzeuge, aber die Zuschreiben dieser Größen zu "asymptotischen Zuständen" im Sinne der Wirklichkeit ist natürlich Käse. <br /> <br />Wenn ich also psi als einen Zustand betrachte, der die Wirklichkeit beschreibt, und p als als ebensolchen, dann ist der mathematische Fehler sicher das <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?1 = \int dp \, |p\rangle\langle p|"> <br /> <br />der physikalische schlimmere aber <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_{qp} = \langle q |T| p \rangle"> <br /> <br /><span style="font-style: italic">Man verwechselt Integrale, in den ebene Wellen auftreten, mit ebenen Wellen, die angeblich in der Realität auftreten</span>. Letztlich ist das der kompakten aber auch schlampigen Notation und dem mindestens ebenso schlampigen Sprachgebrauch rein auf physikalischer Ebene geschuldet. <br /> <br />Der Satz "<span style="font-style: italic"><span style="color: red">nach einer Messung befindet sich das gemessene System in einem Eigenzustand des jeweiligen Operators</span></span>", führt mathematisch zu dem Problem, "verallgemeinerte Eigenzustände des Impulsoperators" betrachten zu müssen, die dann z.B. ein Photon beschreiben sollen. Physikalisch führt er zu dem viel gravierenderen Problem, <span style="font-style: italic">dass das Photon nach der Messung einfach nicht mehr da ist</span> (und dass es vor der Messung sicher auch nicht in einem "verallgemeinerten Eigenzustand" vorlag). Ähnlich mit einlaufenden Wellen. <br /> <br />Der eigentliche historische Ballast ist also nicht die schlampige mathematische Formulierung, sondern die physikalisch falsche Darstellung, die erst zu letzterer zwingt. Repariert man nicht die Physik sondern führt nur präzise Mathematik ein, bleibt die Physik, immer noch falsch. Das trifft nun nicht auf alle von dir genannten Probleme zu, aber auf die oben genannten und von mir zitierten eben schon. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und dann habe ich das Gefühl, dass Physiker manchmal nicht wissen was sie da tun. <br /> <br />Vielleicht liegt es auch einfach nur an mir. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es liegt vermutlich daran, dass du nie wirklich Physik betrieben hast, sondern immer nur kopfschüttelnd den Physikern dabei zugesehen hast, wie sie das machen. <br /> <br />Wenn ein Ballet-Trainer die Bewegungen eines Thomas Müller analysiert, kommt er auch zu der Auffassung, dieser mache ganz viel falsch, tut er aber im Rahmen seiner Sportart nicht. <br /> <br />Evtl. gibt es da eine grundlegende Inkompatibilität in der Denkweise.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2026 09:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jakito hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen?</td> </tr></table><span class="postbody">Eine Matrix ist ein parametrisierter Datentyp. Als Matrixelemente kann man problemlos auch Elemente eines Halbrings zulassen. Spalten- und Zeilenvektoren sind jeweils entartete Matrizen, mit nur einer Spalte, oder nur einer Zeile.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn du Matrix in diesem erweiterten Sinn verstehst dann ja, wobei meistens die Menge der Elemente auf Körper oder Ringe explizit eingeschränkt wird, da es viele Dinge wie bspw Determinanten sonst nicht gibt. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br />Aber die „Reinterpretation“ eines Vektors als Linearform auf dem Dualraum ist aus meiner Sicht zuviel des Guten. Das stiftet am Ende nur Verwirrung bei den Studenten. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn es nur darum geht zu verstehen was ein Vektor ist, brauchst du es nicht. Wenn es aber darum geht zu verstehen was ein Vektor in einem Tensorsinne ist, brauchst du es. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen.</td> </tr></table><span class="postbody">Sind jetzt mehr die Indizes/Koordinatendarstellung das Problem, oder die Definition über Transformationsverhalten? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Definition über das Transformationsverhalten. Nachdem man definiert hat was ein Tensor ist, halte ich es auch für notwendig die komponentendarstellung bezüglich einer (Hamel)basis zu verstehen. Schließlich braucht man das für konkrete Berechnungen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Es gibt glaube ich drei Möglichkeiten, den Tangentialraum zu definieren. Eine davon war über das Transformationsverhalten, eine war über Derivationen, und eine fällt mir gerade nicht mehr ein. Aber alle drei waren glaube ich jede für sich auf ihre Art häßlich.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Mit der dritten Möglichkeit meinst du wahrscheinlich über Äquivalenzklassen von Kurven. <br />Hässlich finde ich nur die über das Transformationsverhalten. Ich weiß nicht was an den anderen beiden Möglichkeiten hässlich sein soll. Persönlich bevorzuge ich Derivationen, greife aber gelegentlich auf die Kurvendefinition zurück. <br /> <br />Erst definierst du die Objekte, dann kannst du untersuchen wie sie sich transformieren. Das ist meiner Meinung nach die richtige Reihenfolge.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jakito</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2026 02:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen?</td> </tr></table><span class="postbody">Eine Matrix ist ein parametrisierter Datentyp. Als Matrixelemente kann man problemlos auch Elemente eines Halbrings zulassen. Spalten- und Zeilenvektoren sind jeweils entartete Matrizen, mit nur einer Spalte, oder nur einer Zeile. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Tensoren sind ein algebraisches Konzept, das einen Vektorraum V als Kontext braucht. Es sind nämlich entsprechend Multilinearformen über V und seinem Dualraum V*. <br />Tensoren sind in dem Sinne nicht als Verallgemeinerung von Matrizen zu verstehen.</td> </tr></table><span class="postbody">Dem zweiten Teil stimme ich voll und ganz zu. <br /> <br />Bei der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kommen tatsächlich bilineare Abbildungen vor, insofern gehört es tatsächlich zur multilinearen Algebra. Und um den Dualraum V* kann man sich auch kaum drücken. So weit gebe ich auch dem ersten Teil Recht. Aber die „Reinterpretation“ eines Vektors als Linearform auf dem Dualraum ist aus meiner Sicht zuviel des Guten. Das stiftet am Ende nur Verwirrung bei den Studenten. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Index hoch- und runterziehen ist in dieser Struktur nicht definiert. Dazu brauchst du auf V zusätzlich ein Skalarprodukt das zwischen kontra- und kovarianten Tensoren vermittelt. Das g fällt schließlich nicht vom Himmel, sondern muss auch erst definiert werden <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /></td> </tr></table><span class="postbody">Gut, kann sein, dass es Anwendungen gibt, wo kein sinnvolles Skalarprodukt gegen ist. Aber ganz sicher bin ich mir nicht. Auch bei einem Spannungstensor in der Mechanik wird doch am Ende schlicht die normale Euklidische Metrik das „sinnvolle“ Skalarprodukt liefern. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen.</td> </tr></table><span class="postbody">Sind jetzt mehr die Indizes/Koordinatendarstellung das Problem, oder die Definition über Transformationsverhalten? <br /> <br />Es gibt glaube ich drei Möglichkeiten, den Tangentialraum zu definieren. Eine davon war über das Transformationsverhalten, eine war über Derivationen, und eine fällt mir gerade nicht mehr ein. Aber alle drei waren glaube ich jede für sich auf ihre Art häßlich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Sep 2026 01:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht <span style="font-style: italic">mathematisch</span> definiert haben. Die Quantenfeldtheorie ist seit ihren Ursprüngen bis heute mathematisch nicht definiert; ca. ein Dutzend Physiker haben aber Nobelpreise für Arbeiten erhalten, die auf dieser Basis den gesamten bekannten Mikrokosmos erklären. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Deswegen finde ich die Quantenfeldtheorie auch unbefriedigend <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" />. Bei den QFTs ist eh noch nicht das letzte Wort gesprochen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich weiß jetzt zwar nicht, was am Konzept der Spinoren nach Pauli und Dirac problematisch sein soll, aber egal. Du hast vollkommen recht, Physiker gehen teilweise schlampig mit derartigen Begriffen um. </td> </tr></table><span class="postbody">. <br />Ich weiß nicht wie Pauli und Dirac damit umgegangen sind, aber es fällt unter dieselbe Kategorie wie Tensor. Man definiert es nicht und betrachtet das Transformationsverhalten, was sich von dem der Tensoren unterscheidet statt eine saubere Behandlung über Darstellungstheorie und Clifford Algebren. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Dann hat Einstein die ART nicht verstanden; Schwarzschild nicht, Friedmann nicht, und andere wohl ebenfalls. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich verstehe, dass historisch die Dinge nicht so klar sind, wenn man Neuland betritt und man sich empor irrt, aber muss man Jahrzehnte später, wenn man diese Dinge besser verstanden hat, in der Bildung den historischen Weg als Vorbild nehmen? Auch historische Artefakte wie Welle-Teilchen-Dualismus oder "relativistische Massenzunahme" sind in der Lehre nicht totzukriegen. <br />Über die Jahre werden Begriffe geschärft und diese geschärften Begriffe sollten dann auch Einzug in die Lehre finden, während historischer Ballast abgeworfen werden sollte. <br />Muss man nach den Arbeiten von Schwartz, Gelfand et al wirklich noch die Deltafunktion und verallgemeinerte Eigenzustände in der Physik so behandeln? Für mich gehören auch zu jeder guten Quantenmechanikvorlesung Maßtheorie, POVMs, Sobolevräume und das Spektraltheorem. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Der Punkt ist, dass Mathematik und Physik völlig andere Qualitätskriterien haben; in der Mathematik entscheidet formale Korrektheit und der lückenlose Beweis, in der Physik entscheidet die Natur. Letztere scheint da gnädiger zu sein als du 😉</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und dann habe ich das Gefühl, dass Physiker manchmal nicht wissen was sie da tun. <br /> <br />Vielleicht liegt es auch einfach nur an mir. <br /> <br />Menschen verwenden auch im Alltag Begriffe wie Energie und Temperatur ohne sie definieren zu können. Das funktioniert ja auch irgendwie <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> .</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 23:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht <span style="font-style: italic">mathematisch</span> definiert haben. Die Quantenfeldtheorie ist seit ihren Ursprüngen bis heute mathematisch nicht definiert; ca. ein Dutzend Physiker haben aber Nobelpreise für Arbeiten erhalten, die auf dieser Basis den gesamten bekannten Mikrokosmos erklären. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich halte das aber für einen Missstand in unserem Bildungssystem.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Heisenberg hat die erste Formulierung der Quantenmechanik – die Matrizenmechanik – entwickelt, ohne Matrizen zu kennen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mich hatte die Physikerliteratur immer verwirrt zurückgelassen. Erst als ich gelernt habe wie diese Objekte sauber definiert werden und wie man den Physikersprech in eine saubere Sprache übersetzt habe ich es verstanden. <br />Es gibt ja viele weitere Begriffe, die in der Physik problematisch sind. <br />Um einige zu nennen: Spinor, Deltafunktion, verallgemeinerte Eigenvektoren, hermitescher Operator, ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich weiß jetzt zwar nicht, was am Konzept der Spinoren nach Pauli und Dirac problematisch sein soll, aber egal. Du hast vollkommen recht, Physiker gehen teilweise schlampig mit derartigen Begriffen um. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich hatte bspw mit dem Thorsten Fließbach in die allgemeine Relativitätstheorie gestartet und wurde verwirrt zurückgelassen. Erst als ich eine rigorose Einführung von Frederik Schuller gesehen habe, habe ich es verstanden. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der Thorsten hat es geschafft, ein Physikbuch über die ART zu schreiben, das die Studenten da abholt, wo sie stehen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es ist wichtig vernünftig zu verstehen was Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge, Tensorfelder, Faserbündel, pushforward, lieableitung ... ist, wenn man die ART verstehen möchte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dann hat Einstein die ART nicht verstanden; Schwarzschild nicht, Friedmann nicht, und andere wohl ebenfalls. <br /> <br />Der Punkt ist, dass Mathematik und Physik völlig andere Qualitätskriterien haben; in der Mathematik entscheidet formale Korrektheit und der lückenlose Beweis, in der Physik entscheidet die Natur. Letztere scheint da gnädiger zu sein als du 😉</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 20:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ist die mathematische Sichtweise, und damit hast du aus dieser aus Recht. <br /> <br />Ich bezweifle aber, dass es für die meisten Physiker ein sinnvoller Zugang ist. Was diese meist wissen müssen ist, wie sich Tensoren bzw. Tensorfelder transformieren. Indizes können dabei auch abstrakt verstanden werden, das hilft: <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. Natürlich ist das unbefriedigend. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Tensoren als lineare Abbildungen braucht in der Physik praktisch niemand. Karten braucht es vor der allgemeinen Relativitätstheorie auch nicht, weil eine (triviale) immer ausreicht. <br /> <br />Dass das alles aus Sicht der Mathematik unsauber ist, verhindert aber keine Master-Abschluss und keine Promotion in der theoretischen Physik.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Natürlich ist die Unkenntnis nicht hinderlich für die Karriere, da das System so ausgelegt ist, dass du ohne dieses Hintergrundwissen weiter kommst. <br />Ich halte das aber für einen Missstand in unserem Bildungssystem. <br /> <br />Mich hatte die Physikerliteratur immer verwirrt zurückgelassen. Erst als ich gelernt habe wie diese Objekte sauber definiert werden und wie man den Physikersprech in eine saubere Sprache übersetzt habe ich es verstanden. <br />Es gibt ja viele weitere Begriffe, die in der Physik problematisch sind. <br />Um einige zu nennen: Spinor, Deltafunktion, verallgemeinerte Eigenvektoren, hermitescher Operator, ... <br /> <br />Ich hatte bspw mit dem Thorsten Fließbach in die allgemeine Relativitätstheorie gestartet und wurde verwirrt zurückgelassen. Erst als ich eine rigorose Einführung von Frederik Schuller gesehen habe, habe ich es verstanden. <br />Es ist wichtig vernünftig zu verstehen was Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge, Tensorfelder, Faserbündel, pushforward, lieableitung ... ist, wenn man die ART verstehen möchte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 19:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das ist die mathematische Sichtweise, und damit hast du aus dieser aus Recht. <br /> <br />Ich bezweifle aber, dass es für die meisten Physiker ein sinnvoller Zugang ist. Was diese meist wissen müssen ist, wie sich Tensoren bzw. Tensorfelder transformieren. Indizes können dabei auch abstrakt verstanden werden, das hilft: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_index_notation" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_index_notation</a> <br /> <br />Tensoren als lineare Abbildungen braucht in der Physik praktisch niemand. Karten braucht es vor der allgemeinen Relativitätstheorie auch nicht, weil eine (triviale) immer ausreicht. <br /> <br />Dass das alles aus Sicht der Mathematik unsauber ist, verhindert aber keine Master-Abschluss und keine Promotion in der theoretischen Physik.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 18:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Jakito hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Davon abgesehen halte ich es für keinen guten Weg Tensoren über Transformationsverhalten zu definieren. Besser ist es sie als algebraische Objektr zu definieren und die Transformation als Folge davon zu verstehen.</td> </tr></table><span class="postbody">??? <br />Du willst also erstmal eine Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen als algebraisches Konzept einführen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen? <br />Spalten, Matrizen- und Zeilenvektoren erhält man durch die Wahl einer Basis und sind eine Weise die Komponenten bzgl einer Basis in einem Schema anzuordnen. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Deshalb klappt es mit Tensoren als algebraische Verallgemeinerung von Matrizen zunächst nicht so toll. Die Tensoren müssen immer ihre eigene „kleine“ Welt bauen. Und dazu gehören sowohl die elementaren Rechenregeln, als auch die Regeln, um Indizes zu heben (to raise) oder zu senken (to lower). Wo jetzt der große Vorteil sein soll, den differentialgeometrischen Teil erstmal wegzulassen, erschließt sich mir nicht so recht. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Tensoren sind ein algebraisches Konzept, das einen Vektorraum V als Kontext braucht. Es sind nämlich entsprechend Multilinearformen über V und seinem Dualraum V*. <br />Tensoren sind in dem Sinne nicht als Verallgemeinerung von Matrizen zu verstehen. <br />Das Indexgeschubse mit den Rechenregeln ist nichts Fundamentales, sondern folgt aus der Wahl einer Basis des Vektorraums, den man als Kontext genommen hat. <br />Das Index hoch- und runterziehen ist in dieser Struktur nicht definiert. Dazu brauchst du auf V zusätzlich ein Skalarprodukt das zwischen kontra- und kovarianten Tensoren vermittelt. Das g fällt schließlich nicht vom Himmel, sondern muss auch erst definiert werden <img src="images/smiles/wink.gif" alt="Augenzwinkern" border="0" /> <br />Die Begriffe der linearen Algebra eignen sich in der Physik dafür Objekte zu beschreiben, die nur globale Daten brauchen wie bspw die flache Minkowski-Raumzeit. Für lokale Beschreibungen muss man die lineare Algebra mit der Differentialgeometrie kombinieren. <br />Man startet von einer glatten Mannigfaltigkeit. Auf dieser kann man Tangentialräume definieren. Diese sind Vektorräume. Darauf aufbauend kann man Tangentialbündel und (r,s)-Tensorbündel definieren. Tensorfelder sind dann glatte Schnitte in Tensorbündeln. <br /> <br />Das ist der richtige Weg, den man beschreiten muss, um die Objekte zu verstehen von denen man redet. <br />Indizes hin und herschieben, machst du um konkrete Dinge in einer Karte zu berechnen, aber dadurch allein verstehst du nicht die Objekte mit denen du rechnest. <br /> <br />Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn man Tensoren in anderen Zusammenhängen verwendet, wie z.B. den Multiplikationstensor, dann hat man eh mit ganz anderen Sachen (beim Verstehen und intuitiven Vorstellen) zu kämpfen. Und bei Sachen wie dem Tensorprodukt (in der Kategorientheorie oder der linearen Algebra), ist es auch wieder seine ganz eigene Geschichte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Kategorientheorie braucht man an dieser Stelle tatsächlich nicht. Was meinst du mit Multiplikationstensor? Das Tensorprodukt ist eine Folgedefinition nachdem du Tensor definiert hast. <br />Wenn man Tensoren als indizierte Größen mit einer Transformationseigenschaft auffasst, ist das Verständnis eh sehr begrenzt. <br />Ich vertrete die Meinung, dass man auf Komponenten, Indizes ... solange es geht verzichten sollte und erst wenn es wirklich notwendig ist, verwenden sollte. Zum Beispiel, um eine konkrete Berechnung durchzuführen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jakito</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 17:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Davon abgesehen halte ich es für keinen guten Weg Tensoren über Transformationsverhalten zu definieren. Besser ist es sie als algebraische Objektr zu definieren und die Transformation als Folge davon zu verstehen.</td> </tr></table><span class="postbody">??? <br />Du willst also erstmal eine Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen als algebraisches Konzept einführen? <br />Ich weiß nicht, ob das so eine tolle Idee ist. Es gibt Zeilenvektoren und Spaltenvektoren, gerade weil die Welt der Vektoren und Matrizen eine in sich geschlossene kleine Welt ist. <br />Deshalb klappt es mit Tensoren als algebraische Verallgemeinerung von Matrizen zunächst nicht so toll. Die Tensoren müssen immer ihre eigene „kleine“ Welt bauen. Und dazu gehören sowohl die elementaren Rechenregeln, als auch die Regeln, um Indizes zu heben (to raise) oder zu senken (to lower). Wo jetzt der große Vorteil sein soll, den differentialgeometrischen Teil erstmal wegzulassen, erschließt sich mir nicht so recht. <br /> <br />Wenn man Tensoren in anderen Zusammenhängen verwendet, wie z.B. den Multiplikationstensor, dann hat man eh mit ganz anderen Sachen (beim Verstehen und intuitiven Vorstellen) zu kämpfen. Und bei Sachen wie dem Tensorprodukt (in der Kategorientheorie oder der linearen Algebra), ist es auch wieder seine ganz eigene Geschichte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 17:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">wenn man ' an die Indizes hinschreibt, dann passt es</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 16:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei deinen Ableitungen sitzt der Strich an dem x. Bei deiner Abkürzenden Notation sitzt der Strich am Index.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, da war ich mir auch unsicher. <br />Wie ist es mit der korrekten Variante <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}T_{kl} "> <br /> <br />D.h. wenn man dort die Quotienten mit den jeweiligen Jacobi-Matrizen austauscht? <br />Die Striche müssten dort doch auch irgendwo umplatziert werden?!?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 16:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bei deinen Ableitungen sitzt der Strich an dem x. Bei deiner Abkürzenden Notation sitzt der Strich am Index. <br />Deine Notation ergibt keinen Sinn. <br /> <br />Davon abgesehen halte ich es für keinen guten Weg Tensoren über Transformationsverhalten zu definieren. Besser ist es sie als algebraische Objektr zu definieren und die Transformation als Folge davon zu verstehen. <br /> <br />Wobei du hier wahrscheinlich Tensorfelder meinst, was man als differentialgeometrisches Objekt definieren sollte, das auf dem Tensorbegriff aufbaut.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Sep 2026 15:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, die Indizes sind falsch, das ergibt keinen Sinn. Bei Telefonmann ist es korrekt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aber man könnte doch bei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij}"> <br /> <br />die beiden Quotienten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial x_i'}{\partial x_i} = A^{i}{}_{i'}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial x_j'}{\partial x_j} = A^{j}{}_{j'}"> <br /> <br />setzen. Und somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_{i'j'} = A^{i}{}_{i'} A^{j}{}_{j'} T_{ij}"> <br /> <br />erhalten. Was per Summenkonvention auflösbar erscheint. <br />(Man könnte vielleicht auch in der Ausgangs-Gleichung die beiden Nenner miteinander austauschen, sodass man nicht die gleichen Index-Buchstaben pro Gleichsetzung erhält.) <br /> <br /><span style="font-weight: bold">P.S.:</span> <br />In der von euch gezeigten <span style="text-decoration: underline">korrekten</span> Variante sind die x-Deltas alle je kontravariant, aber aufgrund der Reziprokität werden die im Nenner als Jacobi-Matrix-Darstellung kovariant verindexed. (D.h. man erhält dort in der Jacobi-Matrix-Darstellung keine reinen kontravarianten Indizes.) <br />Dementsprechend habe ich die Index-Stellung in meinem Beispiel aufgrund der Reziprokität auch angepasst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 23:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, die Indizes sind falsch, das ergibt keinen Sinn.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />@Bastie: Siehe auch den insgesamt zweiten Beitrag von Jayk, 19. Apr 2016 16:31</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 22:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, die Indizes sind falsch, das ergibt keinen Sinn. Bei Telefonmann ist es korrekt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 22:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Telefonmann hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hallo Bastie, google mal nach "Transformationsgesetz für kovariante Indizes". Da bekommt man <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}T_{kl} "> <br />was rein formal schon viel besser wirkt. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. So kannte ich das ja. <br /> <br />Aber <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij} "> <br /> <br />geht für mich mittlerweile auch auf. Zumindest von der Notation. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Telefonmann</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 22:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>MBastieK hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ist das formal bzw. mathematisch korrekt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Hallo Bastie, google mal nach "Transformationsgesetz für kovariante Indizes". Da bekommt man <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}T_{kl} "> <br />was rein formal schon viel besser wirkt. Für die "Richtungen" von S nach S' übernehme ich aktuell keine Garantie. Man muss also noch überprüfen, ob die ' an den richtigen Stellen sitzen. Über den Daumen gepeilt passt es, weil eine Differentation nach den x^i bei einer reellen Funktion kovariante Indizes erzeugt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Yoshi2000</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 19:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>MBastieK hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij} "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist das formal bzw. mathematisch korrekt? <br /> <br />Nette Grüsse</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dazu fehlt es mir an Kontext. <br />Du musst erst die Transformation im Ortsraum hinschreiben und dann wie sich darauf bezogen die Komponenten des Tensorfeldes lokal transformieren. Auch sollte man deutlich machen, ob man von aktiven Transformationen (pushforward, pullback) oder passiven Transformationen (Kartenwechsel) spricht. <br /> <br />Wichtig finde ich erstmal zwischen den Begriffen Tensor (Objekt aus der linearen Algebra) und Tensorfeldern (Begriff aus der Differentialgeometrie) zu unterscheiden. <br />Leider sprechen Physiker von Tensoren, wenn sie eigentlich Tensorfelder meinen. <br />Da fängt schon die Verwirrung an. <br /> <br />Der Tensor ist einer der am meisten missverstandenen Begriffe der Mathematik. Noch schlimmer ist es beim Spinor.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2026 12:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij} "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist das formal bzw. mathematisch korrekt? <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Apr 2016 16:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zumindest Tensoren, die kovariant von Rang [beliebig] und kontravariant von Rang 0 oder 1 sind, kann man eine geometrische Deutung angeben: <br /> <br />Tensor kovariant Rang 1, kontravariant Rang 0: Eine lineare Abbildung, die einen Vektor auf eine Zahl abbildet. Also eine Linearform. <br />Tensor kovariant Rang 2, kontravariant Rang 0: Eine bilineare Abbildung, die zwei Vektoren auf eine Zahl abbildet. Also eine Bilinearform, z.B. ein Skalarprodukt ist so ein Tensor. <br />Tensor kovariant Rang 3, kontravariant Rang 0: Eine trilineare Abbildung, die drei... <br />Tensor kovariant Rang 1, kontravariant Rang 1: Eine lineare Abbildung, die einen Vektor auf einen Vektor abbildet. Also ein Endomorphismus. <br />Tensor kovariant Rang 2, kontravariant Rang 1: Eine bilineare Abbildung, die zwei Vektoren auf einen Vektor abbildet. <br /> <br />Um kontravariant von höherem Rang zu interpretieren, kann man sich der universellen Abbildungseigenschaft bedienen: Ein Tensor kovariant von Rang 2 nimmt zwei Vektoren entgegen, bezüglich derer er bilinear abbildet. Stattdessen könnte man auch sagen, er nimmt einen Tensor kontravariant von Rang 2 entgegen, den er linear (nicht bilinear!) abbildet. Zum Beispiel sei mal <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta"> eine Bilinearform. Dann ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\beta (2 \vec x, \vec y) = 2 \beta (\vec x , \vec y ) = \beta (\vec x, 2 \vec y)">, das heißt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2 \vec x \otimes \vec y = \vec x \otimes 2 \vec y">. Ein allgemeiner Tensor kovariant von Rang 2 ist aber nicht von der Form <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec x \otimes \vec y">, sondern <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec x_1 \otimes \vec y_1 + \vec x_2 \otimes \vec y_2 + \dots"> (mit endlich vielen Gliedern; in der QM bzw. der Funktionalanalysis läßt man auch unendlich viele Glieder zu, weil die Hilberträume meistens unendlichdimensional sind: Dort werden Tensoren u.a. zur Beschreibung von Mehrteilchensystemen benutzt und die Tatsache, daß ein allgemeiner Tensor eine Summe von solchen Termen ist, läßt sich als Verschränkung interpretieren). <br />Daraus ergibt sich die Interpretation: <br />Ein Tensor kontravariant von Rang 2, kovariant von Rang 0, ist eine lineare Abbildung, die eine Bilinearform auf eine Zahl abbildet. <br />Ein Tensor kontravariant von Rang 2, kovariant von Rang 1, ist eine lineare Abbildung, die eine Bilinearform auf einen Vektor abbildet. <br />usw. <br /> <br />Ein Vektor ist nicht abhängig von einem Koordinatensystem (d.h. der Wahl einer Basis), aber seine Komponenten sind es und sie transformieren sich auf die gegebene Weise. Alternativ sagt man, der Vektor transformiere sich auf eine bestimmte Weise. <br />Beim Tensor ist es genauso (insbesondere ist es 100% richtig zu sagen, ein Vektor sei ein Spezialfall eines Tensors, was für eine Matrix nicht richtig ist): Der Tensor ist eine Abbildung, seine Komponenten transformieren sich auf eine bestimmte Weise. Alternativ sagt man, der Tensor transformiere sich auf eine bestimmte Weise. <br /> <br />Du hast wohl versucht, Tensoren und Vektoren gegenüberzustellen, aber eine solche Gegenüberstellung gibt es nicht, da Vektoren Tensoren kontravariant von Rang 1 sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Apr 2016 16:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Katha90 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aah, der entscheidende Hinweis ist: ein Tensor wird transformiert! <br />Nach folgender Transformationsvorschrift: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij} "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Im allgemeinen nicht, siehe meinen Beitrag oben. Die Vorschrift, die Du angegeben hast, ist gültig für Tensoren kontravariant von Rang 2, kovariant von Rang 0. Die sind eher selten, aber z.B. der Feldstärketensor wird manchmal mit dieser Konvention gewählt (ich bevorzuge eher, die doppelt kovarianten Komponenten anzugeben). <br />Für Bilinearformen, also Tensoren kovariant von Rang 2 und kontravariant von Rang 0, müßtest Du in beiden "Brüchen" Zähler und Nenner vertauschen. <br />Für Endomorphismen, also Tensoren ko- und kontravariant jeweils von Rang 1, müßtest Du in dem Bruch für den unteren Index Zähler und Nenner vertauschen. <br /> <br />Allgemein: <br />für einen oberen Index <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \dots '}{\partial \dots}"> <br />für einen unteren Index <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \dots}{\partial \dots '}"> <br /> <br />Wenn Du den Tensortyp durch die Indexstellung ausdrückst, kannst Du das Transformationsverhalten mechanisch angeben, weil die Indexstellung nur eine Möglichkeit zuläßt (die x haben obere Indizes und ein oberer Index im Nenner zählt wie ein unterer Index). Ansonsten mußt Du mitdenken.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Katha90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Apr 2016 09:59<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aah, der entscheidende Hinweis ist: ein Tensor wird transformiert! <br />Nach folgender Transformationsvorschrift: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{i'j'} = \frac{\partial x_i'}{\partial x_i} \frac{\partial x_j'}{\partial x_j} T_{ij} "> <br />Das kann ich mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? T_{ij} = A_i B_j "> zeigen. Während das mit der Transformationsmatrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a_{ij} "> nicht funktioniert. <br />Kann man also sagen, dass ein Vektor mit Hilfe der Transformationsmatrix nur in ein anderes Koordinatensystem abgebildet wird, während ein Tensor so eine Art Funktion ist, die für ein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? B_j"> ein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_i"> berechnet?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Apr 2016 23:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@Nima93: Eine Matrix ist nicht mehr als ein rechteckiges Zahlenschema. Eine Matrix kann man nicht transformieren und sie wirkt auch nicht intrinsisch auf Vektoren. Ein Beispiel: Sei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V"> ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Ich würde ausdrücklich davon abraten, hier in diesem Zusammenhang an den <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathbb R^3"> zu denken, da dieser im Gegensatz zu einem allgemeinen Vektorraum eine kanonische Basis besitzt, die die ganze Diskussion etwas verschleiern würde. Nun nehmen wir zwei verschiedene Basissysteme <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(e_i)_i, (f_i)_i">, die durch eine Basiswechselmatrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(A_{ij} )_{i,j}"> beschrieben werden, d.h. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A := \mathcal M_{(e_i)_i \rightarrow (f_i)_i} \operatorname{id}_V">, also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_i = \sum_j A_{i j} f_j">. Ein Endomorphismus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi : V \to V"> wird dann bezüglich dieser Basissysteme durch seine Darstellungsmatrizen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal M_{(e_i) \to (e_i)} \varphi =: \Psi^{(e)}">, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal M_{(f_i) \to (f_i)} \varphi =: \Phi^{(f)}"> beschrieben. <br />(Anmerkung zur Notation: Für einen allgemeinen Endomorphismus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi "> meine ich mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal M_{(b_i) \to (\beta_i)} \psi =: \Psi"> die Darstellungsmatrix bezüglich der Basissysteme b und beta, d.h. die quadratische Matrix, die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi b_i \equiv \sum_j \Psi_{j i} \beta_j"> erfüllt. Im Bosch würde das als <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_{\psi ; (b_i) ; (\beta_i)}"> notiert werden, soweit ich mich erinnere. Entscheidend ist, daß man nicht notwendigerweise zweimal dasselbe Basissystem verwenden muß und somit Darstellungsmatrizen und Basiswechselmatrizen in einer einheitlichen Notation unterbringt) <br />Dann gilt jedenfalls der folgende wichtige Zusammenhang: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi^{(f)} = A^{-1} \cdot \Phi^{(e)} \cdot A">. <br /> <br />Angenommen nun, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> ist nicht ein Endomorphismus, sondern eine Bilinearform, dann hat diese die Darstellungsmatrix <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B^{(e)} = (B^{(e)}_{ij})_{i,j}">, die durch ihre Eigenschaft <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi (e_i, e_j) \equiv \Phi^{(e)}_{i j}"> <br />definiert ist. Analog für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?B^{(f)}">. Dann gilt der Zusammenhang: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi^{(f)} = A^T \cdot \Phi^{(e)} \cdot A">, <br /> <br />d.h. anstelle der inversen Matrix steht die transponierte Matrix! Aber die Transponierte einer Transformationsmatrix ist allgemein nicht identisch mit ihrer Inversen. Identisch sind sie genau dann, wenn man eine sog. orthogonale Transformation hat. Wenn man sich aber für allgemeine Basiswechsel interessiert, was spätestens in der Relativitätstheorie der Fall ist, muß man sich mit sowas befassen. <br /> <br />Das ist mit Transformationsverhalten gemeint. <br /> <br />Einfacheres Beispiel: Die Komponenten eines Vektors ändern sich gemäß <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^{(f)} = A \cdot v^{(e)}">. Sagen wir nun, wir haben eine Linearform, d.h. einen Kovektor, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha">, den wir als Spaltenvektor darstellen wollen (Zeilenvektor wäre üblicher, würde aber den Punkt nicht gut verdeutlichen). Dann ist bezüglich jeder Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha (v) \equiv (\alpha^{(e)})^T \cdot v^{(e)}">, d.h. da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^{(f)} = A \cdot v^{(e)}">, muß <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\alpha^{(f)})^T = (\alpha^{(e)})^T \cdot A^{-1}">, d.h. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha^{(f)} = (A^{-1})^T \cdot \alpha^{(e)}">. An die Stelle von A tritt also die Transponiert-Inverse! <br /> <br />Übrigens muß man sich diese Regeln nicht unbedingt merken, denn es gibt eine sehr gute Koordinaten-Notation dafür: Mache Indizes basis-spezifisch, also verwende z.B. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mu, \nu, \dots"> für die Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(e_i)_i"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mu', \nu', \dots"> für die Basis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(f_i)_i">. Dann ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}} \equiv A^{\mu'}{}_{\mu}"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'} }\equiv (A^{-1})^{\mu}{}_{\mu'}"> (d.h. es ist wichtig, ob gestrichen oben oder unten steht!) und die Wahl der richtigen Transformation folgt automatisch über die Stellung der Indizes (so, daß man nur über oben-unten oder unten-oben kontrahiert): <br />- Endomorphismen gibt man die Indexstellung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dots^{\mu}{}_{\nu}">. In der Tat ist <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M^{\mu'}{}_{\nu'} = (A^{-1})^{\mu'}{}_{\mu} A^{\nu}{}_{\nu'} M^\mu{}_\nu ">. <br />- Bilinearformen gibt man die Indexstellung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dots_{\mu \nu}">. In der Tat ist <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{\mu' \nu'} = A^{\mu}{}_{\mu'} A^{\nu}{}_{\nu'} M_{\mu \nu}"> <br /> <br />In der Physik wird diese Indexstellung meistens nur im Zusammenhang mit der Relativitätstheorie (also in SRT, ART, Elektrodynamik, QFT) verwendet. In der Differentialgeometrie verwendet man sie dagegen sehr häufig. <br /> <br />Einen Tensor von Rang (r, s) (kovariant von Rang r, kontravariant von Rang s) ist dann einfach so ein Objekt, das r untere und s obere Indizes hat, d.h. Indizes, die mit den entsprechenden Transformationsmatrizen gemäß ihrer Stellung transformiert werden. Endomorphismen sind also Tensoren von Rang (1, 1), Bilinearformen sind Tensoren von Rang (2, 0). Beide lassen sich durch Matrizen <span style="font-weight: bold">darstellen</span>. Für höherrangige Tensoren bräuchte man dann eben quaderförmige Zahlenschemata usw. <br /> <br />Da Franz den Trägheitstensor ins Spiel gebracht hat: Wenn Du schonmal davon gehört hast, wirst Du sicher wissen, daß der Trägheitstensor zwei Funktionen erfüllt: Zum einen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T = \Theta (\vec \omega, \vec \omega)"> als Bilinearform bzw. quadratische Form, zum anderen als <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec L = \Theta \vec \omega"> als Endomorphismus. Das ist jedenfalls wichtig, wenn man nicht-orthogonale Basiswechsel betrachtet (was aber in der klassischen Mechanik nicht so wichtig ist; deswegen wird darauf auch in der Regel nicht eingegangen). <br />Übrigens kann man Bilinearformen und Endomorphismen miteinander identifizieren (sogenanntes Indexziehen bzw. musikalischer Isomorphismus oder flat/sharp-Isomorphismus) und auch generell Tensoren, für die r+s gleich ist. Dafür braucht man aber ein (Pseudo)skalarprodukt. In der klassischen Mechanik ist das das ganz normale euklidische Skalarprodukt, in der Relativitätstheorie die so genannte Metrik bzw. der metrische Tensor. Trotzdem ist es natürlich für eine Berechnung wichtig zu wissen, ob man jetzt gerade an den kovarianten oder kontravarianten Komponenten eines Tensors interessiert ist, sonst bekommt man einfach ein falsches Ergebnis. <br /> <br />Man kann Tensoren auch als Objekte definieren, die mit entsprechenden Vektoren bzw. Kovektoren kontrahiert werden können, d.h. <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\operatorname{Tens}_r^s := \operatorname{Mult} (\underbrace{V, \dots , V}_r , \underbrace{V^*, \dots , V^*}_s ; \mathbb R)">, wobei V* der Dualraum, also der Vektorraum der dazugehörigen Kovektoren, ist. Man kann zeigen, daß diese Definitionen (und noch eine ganz abstrakte Version aus der Algebra, die Tensoren über die "universelle Abbildungseigenschaft" definiert) alle gleichwertig sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>franz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Apr 2016 18:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Beispiel: der Trägheitstensor gegenüber körperfesten Koordinatensystemen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Apr 2016 18:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Verkürzt gesagt: ein Tensor ist ein Objekt, das unter Transformationen transformiert <span style="font-style: italic">wird</span>, während spezielle Matrizen gerade die Transformationen darstellen; eine Matrix kann jedoch etwas ganz Allgemeines sein, unabhängig von Transformationen. <br /> <br />Spezielle Transformationsmatrizen sind jedoch selbst Tensoren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Katha90</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Apr 2016 16:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo zusammen, <br />vielen Dank für eure hilfreichen Erklärungen. <br />Ich habe eine Frage zum Unterschied zwischen einer Matrix und einem Tensor. Laut Betten (Tensorrechnung für Ingenieure) ist eine Transformationsmatrix kein Tensor, sondern eine Matrix, wenn z.B. eine Drehung eines rechtwinkligen Kartesischen Koordinatensystem in der Ebene betrachtet wird: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? A_i' = a_{ij} A_j "> (' kennzeichnet die transformierten Koordinaten eines Vektors A und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a_{ij}"> ist die Transformationsmatrix ). <br />"Es besteht keine funktionelle Beziehung zwischen zwei Vektoren, sondern es ist nur die Ausdrucksform eines einzigen Vektors in einem anderen (gedrehten) Koordinatensystem." <br /> <br />Im Gegensatz dazu ist T ein Tensor zweiter Stufe. Es gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_i = T_{ij} B_j ">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? A_i "> ein abhängig veränderlicher Vektor ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? B_j "> ein unabhängiger veränderlicher Vektor ist. "Der Tensor T erzeugt bei Einwirken auf B einen Vektor A." <br /> <br />Wie passt das nun mit der vorherigen Erklärung 'was ist ein Tensor?' zusammen, dass der Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? r "> mit dem Tensor(?) <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R "> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi(r) \rightarrow \phi'(r)"> transformiert. <br /> <br />Gibt es hierzu vielleicht noch eine andere Erklärung? Ich verstehe nicht warum T ein Tensor ist, aber <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a_{ij} "> nicht.[/latex] <br /> <br />Vielen Dank.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Feb 2016 09:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">s.o. 15. Jul, 19:50. <br /> <br />Ein Beispiel: <br /> <br />Wenn du ein rotiertet Koordinatensystem K' einführst dann ändert sich bzgl. dieses K' der Wert eines Temperaturfekdes nicht, da dieses ein <span style="font-weight: bold">Skalar</span> = ein Tensor nullter Stufe ist. <br /> <br />Die Werte der Komponenten eines Vektors ändern sich gerade so, dass der Vektor selbst entgegen der Drehung des Koordinatensystems rotiert wird; wenn du dich nach links drehst, scheinen sich Richtungen aus deiner Sicht nach rechts zu drehen; ein <span style="font-weight: bold">Vektor</span> ist ein Tensor erster Stufe. <br /> <br />Nun kann man <span style="font-weight: bold">Tensoren höher Stufe</span> konstruieren, wobei hier keine anschauliche Interpretation mehr vorliegen muss. Z.B. kann man die Komponenten des elektrischen und des magnetischen Feldstärkevektors zu einem 4 * 4 Tensor zweiter Stufe zusammenfassen. Das o.g. Transformationsverhalten gilt dann auch für verallgemeinerte "Drehungen" in vier Dimensionen entsprechend der Lorentz-Transformation der speziellen Relativitätstheorie.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Voessli</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Feb 2016 06:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">was ist denn nun ein Tensor ??</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Nima93</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2012 23:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank euch allen, ich werd mir eure Beiträge jetzt sehr oft durchlesen, dann wird die Erleuchtung hoffentlicn nicht allzu lange auf sich warten lassen <img src="images/smiles/up.gif" alt="Thumbs up!" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Jul 2012 08:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Uriezzo hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, es ändert sich tatsächlich nichts, weil ich nicht die Platte drehe, sondern das Koordinatensystem.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es sollte auf das gleiche hinauslaufen, ob ich die Platte drehe oder das Koordinatensystem </td> </tr></table><span class="postbody">Ich wollte nur zwischen der physikalischen Drehung eines Systems und der Drehung des Koordinatensystems unterscheiden. Aber ich denke, wir sind uns einig. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Uriezzo hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi'(\vec{r}') = \phi(\vec{r})"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Uriezzo, jh8979, danke für den Hinweis: jetzt sehe ich den von mir vergessenen Strich bei phi - der ist natürlich wichtig!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Uriezzo</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Jul 2012 08:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, es ändert sich tatsächlich nichts, weil ich nicht die Platte drehe, sondern das Koordinatensystem. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es sollte auf das gleiche hinauslaufen, ob ich die Platte drehe oder das Koordinatensystem: Eine Drehung der Platte um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?-\phi">. <br />Die Werte meines Skalarfeldes ändern sich dabei nicht: 20° bleiben beispielsweise 20°. Wohl aber ändern sich die Koordinaten in meinem Koordinatensystem, an dem die 20° auftreten: Das gilt sowohl für den Fall, dass ich die Platte drehe, als auch für den Fall, dass ich das Koordinatensystem drehe. <br />Es gilt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi'(\vec{r}') = \phi(\vec{r})"> <br /> <br />Der Wert meines neuen Feldes an einem Punkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}' = \vec{r}'(\vec{r})"> ist gleich dem des alten Feldes am Punkt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}">. <br /> <br />Bei einem Vektorfeld habe ich außer dem Wert (also der Länge des Vektors) auch noch eine Richtung. Die muss ich mitttransformieren und daher ändern sich die Werte der Komponenten meines Vektorfeldes im Gegensatz zu den Werten des Skalarfeldes, die gleich bleiben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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