geeignete Koordinaten für Lagrange Funktion suchen

Veryyy · Anmeldungsdatum: 14.08.2009 Beiträge: 142

Hallo,
ich habe diese Aufgabe gegeben und komme einfach nicht auf die geeigneten Koordinaten, mit denen ich die Lagrange Funktion aufstellen kann.
Wenn ich diese habe, komme ich ja über L = T-V auf die Lagrangegleichung und über diese auch auf die BEwegungsgleichungen.

Ich habe mir schon überlegt, eine geeignete Koordinate als Länge des Rohres zu wählen und die andere als einen Winkel. Das Problem ist nur, dass ich es nicht schaffe, diese Winkelkoordinate auszudrücken.
Für die Längenkoordinate habe ich mir überlegt

Dann erhalte ich ja

Stimmt das so? Und kann mir jemand bei der Winkelkoordinate helfen?
Gruß,
Veryyy

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Du musst mit den verwendeten generalisierten Koordinaten den Punkt wo sich die Masse befindet eindeutig beschreiben können. Das

ist dazu wohl kaum eine geeignete Größe, da es ja konstant ist und die fixe Neigung des Rohrs angibt. Ein möglicher Satz wäre z.B. die Entfernung vom Ende des Rohrs entlang der Mittelachse und ein Winkel, also Zylinderkoordinaten mit festem Radialanteil.

Veryyy · Anmeldungsdatum: 14.08.2009 Beiträge: 142

oh, stimmt.. ich habe meinen Winkel nur zufällig auch alpha genannt. Also alpha ist der feste eingezeichnete Winkel. Nun wähle ich Zylinderkoordinaten also z.B. r und phi. dabei ist r der variable Abstand der Punktmasse von dem unteren "Deckel" also der kreisrunden Fläche. r soll auch immer parallel zum Rohr sein. Und phi setze ich oben links in den Kreis.
Ich habe das einmal eingezeichnet. So müste ich ja jeden Punkt den die Punktmasse annehmen kann, eindeutig beschreiben können. Die Masse wird ja auf der Innenseite des Rohres hinuntergleiten bzw. dabei noch nach links und rechts schaukeln. Und phi und r sind ja beide variabel.
Nun kann ich r so beschreiben

.
Aber bei der Beschreibung von phi habe ich so meine Schwierigkeiten. Es liegt da ja so schräg im Raum... und ich bräuchte ja dann auch den Radius des Kreises, in dem es sich befindet. Da komme ich irgendwie nicht weiter...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

der Radius des Zylinders ist ja R. Ich verstehe jetzt nicht, wo das Problem ist. Du musst nun lediglich die kinetische und potenzielle Energie in Zylinderkoordinaten anschreiben. Eine Skizze wird dabei wohl sehr hilfreich sein.

Tip: Jede Geschwindigkeit auf der Bahn kann man in eine axiale und in eine tangentiale Richtung aufteilen.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Nachtrag:

stimmt auch nicht, da das z nicht nur von r, sondern auch von

abhängt.

Ich persönlich würde zunächst für einen Punkt r,

die Koordinaten x', y', z' in einem Koordinatensystem ausrechnen, in welchem der Zylinder parallel zur x-Achse liegt. Danach kann man diese Koordinaten in ein gedrehtes Koordinatensystem transformieren, indem man um

um die y'-Achse dreht. Wenn du geübt bist, kannst du das auch direkt ablesen, aber so wäre es systematisch.

Veryyy · Anmeldungsdatum: 14.08.2009 Beiträge: 142

also ich glaube so geübt bin ich noch nicht, dass ich das direkt sehe und genau das ist ja mein Problem, dass der Zylinder da schief drinliegt...

Wenn ich jetzt also einmal annehme, dass er parallel zur x-Achse liegt, dann erhalte ich für r genau den x-Wert, da der Zylinder ja nicht gedreht ist. Also r=x.

finde ich schwieriger..
Ich habe da mal ein Bild angehängt, wie das jetzt aussehen müsste, wenn der Zylinder parallel zur x-Achse liegt. Im Bild liegt er eben genau auf der x-Achse, er könnte aber auch nach oben verschoben sein.
Wenn ich den Winkel

ändere, bleibt die x-Koordinate immer gleich, es ändern sich aber die y und die z-Koordinate jeweils um den Radius. Ich bekomme also Werte plus/minus R um den Wert, auf dem der Mittelpunkt liegt. Also bei y bekomme ich Werte zwischen R und -R und bei Z eben Werte zwischen

und

, wenn

der Wert ist, um den der Mittelpunkt des Zylinders von der x-Achse aus gesehen in z-Richtung verschoben wurde.

Normalerweise habe ich

immer über irgendeine Winkelbeziehung also sinus oder cosinus bekommen, aber ich sehe hier nicht wirklich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem ich das anwenden könnte.
Gibt es hier eins, das ich nur noch nicht sehe, oder wie kann ich anders auf ein geeingnetes

kommen?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich würde die Achse des Zylinders mit der x-Achse Zusammenfallen lassen. Dann ist

Wenn man nun noch um

dreht, transformierst du auf

Damit lässt sich V als Funktion der neuen Koordinaten ausdrücken.