Potenzreihenentwicklung um z0 = Unendlich

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi,

ich habe unten mal einen Auszug aus Mathematica angeheftet, den ich nicht so ganz verstehe.

Wenn ich in Mathematica eine Reihenentwicklung für den Ausdruck

am Entwicklungspunkt z0 = Unendlich durchführe, bekomme ich einen Ausdruck ungleich 0 (siehe Out[87])

Wenn ich die selbe Reihe nochmal entwickele, diesmal allgemein am Punkt a (Out[85]) und dann den Limes davon bilde mit a gegen Unendlich bekomme ich 0 raus (Out [86])!

Normalerweise müsste doch bei beiden Varianten das selbe herausbekommen, oder habe ich da einen Denkfehler?

Ich verstehe den Unterschied zwischen beiden Varianten nicht so richtig. Habt ihr eine Idee?

Danke,

LG

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21618

Was wird nun Unendlich? Ich denke z, nicht x, das kommt ja nicht vor.

Nun kannst du statt z gegen Unendlich dem Limes R/z gegen Null durchführen, also

Und hier ist der Grenzfall offensichtlich Null.

Ich würde immer um (R/z) = 0 statt z = Unendlich entwickeln

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Neugierig: Steckt ein physikalischer Sachverhalt dahinter?

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Danke für eure Hilfe!! Mir ist trotzdem noch etwas nicht ganz klar...

Es geht bei der Aufgabe um einen homogen geladenen, kreisförmigen Draht mit verschwindend kleinem Querschnitt, der konzentrisch um den Ursprung in der x-y-Ebene liegt.

Das elektrostatische Potential von diesem Sachverhalt ist ja:

Nun soll ich Taylorentwicklungen angeben, um das asymptotische Verhalten des Potentials in den Fällen z gegen 0 und

zu untersuchen.

Für den Fall z gegen 0 gelingt mir das denke ich. Ich entwickele das Potential um z0 = 0 und bekomme als Näherung:

Wenn man diese Näherung für z--> 0 laufen lässt bekommt man ein Potential was von 1/R abhängt, was mir sinnvoll erscheint.

Wenn ich z--> Unendlich untersuchen möchte, bietet sich die Näherung in z=0 nicht sonderlich gut an, da die Näherung divergieren würde.

Also hatte ich die Idee, die Taylorreihe im Entwicklungspunkt z0 = Unendlich zu entwickeln, wenn ich das mit Mathematica mache, kommt für die Näherung raus (siehe Abbildung Out[87]):

Dieses Ergebnis stimmt, da die Lösung bereits in der Aufgabe steht (zur Kontrolle).

-----

Ich versuche dies nun rechnerisch nachzuvollziehen:

Wenn ich nun versuche die Taylorreihe im Enwtwicklungspunkt z0 allgemein zu entwickeln, also für z0 nichts einsetze, sozusagen eine Potenzreihe aufschreibe, bekomme ich nicht die richtige Lösung, ich kriege nur 0 heraus.

Ich versuche sozusagen die Potenzreihe erstmal allgemein aufzuschreiben und dann später den Grenzwert z0 --> Unendlich (also den Entwicklungspunkt gegen Unendlich laufen lassen) zu bilden.

Auch Mathematica sagt dann, das das 0 ist, wenn ich es so Schritt für Schritt mache.

Ich bin etwas verwirrt, weil ich in Mathematica ja für den Entwicklungspunkt direkt Unendlich eingesetzt habe und dann kommt das gewünschte Ergebnis heraus. Und mein Schritt-für-Schritt vorgehen müsste doch äquivalent dazu sein.

Das genäherte Potential sieht bei mir so aus:

Habt ihr eine Idee?

LG

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Wäre es nicht zweckmäßig, sich um das elektrische Feld zu kümmern und um Abweichungen von der Achse?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21618

Wie ich oben schon geschrieben habe, solltest du nicht um z=Unendlich sondern um z/R=0 entwickeln.

deathunter2 · Anmeldungsdatum: 18.08.2012 Beiträge: 38

Wenn ich R/z=0 mache divergiert das Ergebniss doch wieder? Hänge grad an der selben Stelle und man findet doch ums verrecken nichts hilfreiches zu soetwas... TomS tipp ist (m.E.) zu knapp formuliert, ich hab keine Ahnung was ich da jetz tun soll ^^

Ich hab versucht

zu entwickeln aber für R/z->0 komme ich nicht aufs gewünschte Ergebniss

Was mache ich da falsch unglücklich

?

Komme auf

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Das ist ja auch richtig. Für grosse z, also z>>R, gilt

deathunter2 · Anmeldungsdatum: 18.08.2012 Beiträge: 38

Wer lesen kann...

Hab mich in der Funktion vertan, den Fall den ich betrachte ist ein ähnlicher aber eben nicht der gleiche... >.<

Ich habe

Sorry allerseits ^^

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21618

alles klar?