Die dreidimensionale Deltafunktion

Mkr · Anmeldungsdatum: 23.05.2011 Beiträge: 15

Hallo. Ich sitz gerade von einer dreiteiligen Aufgabe bezüglich der dreidimensionalen Delta-Funktion und komm bei allen Teilen ab einem gewissen Punkt nicht weiter oder weiß nicht, ob ich alles richtig gerechnet habe.

Aufgaben:

1.)

mit

und

2.)

3.)

mit

und

Wobei V das Volumen einer Kugel mit Radius 2 um den Ursprung ist.

Lösungsideen:

Eine Eingenschaft der dreidimensionalen Deltafunktion die ich bei allen drei Aufgaben ausgenutzt habe ist:

Zu 1:
Um das Volumenintegral eines Vektorfeldes zu berechnen braucht man:

Also folgt:

Nun die Polstellen der Deltafunktion:

Daraus folgt:

Das Ergebnis kommt mir jedoch intuitiv komisch vor.

Zu 2:
Hier habe ich schon einmal ein Grundlegendes Verständnisproblem. Und zwar bin ich mir nicht im klaren, wofür das

im Exponent der Exponentialfunktion steht. Ich hab es einfach mal stehen lassen und die Deltafunktion angewendet. Heraus kam:

Polstellen der Deltafunktion bei:

Vermutlich muss das

irgendwie in

transformiert werden, sodass die Polstellen eingesetzt werden können um damit das Integral zu berechnen.

Zu 3:
Einsetzen und ausrechnen ergibt dieses Monster hier:

Natürlich kann ich hier die Polstellen berechnen, weiß aber nicht, welche relevant sind, da die Integrationsgrenzen auch variablen erhalten. Eine andere Möglichkeit wäre Kugelkoordinaten zu verwenden, aber da hapert es am Verständnis der Deltafunktion.

Ich hoffe das ich nicht zu viele Fragen gestellt habe. Ich würde mich schon freuen, wenn man mir zumindest zu einer einen Denkanstoß in die richtige Richtung geben könnte smile

Liebe Grüße,
Mkr

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Das ist ja die (zwar etwas freizügige aber immerhin allgemein akzeptierte Definition der Deltafunktion - oder hab ich da etwas missverstanden?

Ausserdem muss das Volumenintegral über ein Vektorfeld wieder ein Vektor sein!

Mkr · Anmeldungsdatum: 23.05.2011 Beiträge: 15