Volumen eines elliptischen Paraboloiden

Determinist · Anmeldungsdatum: 25.05.2011 Beiträge: 30

Hallo,

ich möchte das Volumen eines elliptischen Paraboloiden

berechnen, der von der x,y - Ebene eingeschlossen ist.

Erst mal die Frage, ist es richtig dass sich der Paraboloid in Z-Richtung ausbreitet, also nicht in Y-Richtung?

mein Ansatz ist der Satz von Gauß, jedoch komme ich damit nicht auf das richtige Ergebnis von

vermutlich habe ich den falschen Ansatz???

Integral · Gast

Ich hab das probiert

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 501

Hallo Determinist,

Man kann das auch in kartesischen Koordinaten ausrechnen. Zur Veranschaulichung des Problems sollte man sich aber klar machen, dass über z = 4 -x²-y² eine Fläche definiert wird. Diese begrenzt zusammen mit der xy-Ebene das zu berechnende Volumen. Man kann sich die Fläche des Paraboloids dann mit Hilfe einer Parabel vorstellen, die nach unten geöffnet ist und um die z-Achse rotiert. Der Scheitel befindet sich bei x=y=0 und z=4. Der Abstand r der Parabel von der z-Achse ist gleich

.

Dann sollte man erkennen, dass die xy-Integration eine Kreisfläche mit variablem Radius ergibt, also

. Diese Flächen braucht man dann nur noch entlang der z-Achse von 0 bis 4 integrieren und ist fertig:

MfG