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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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 Jakito Verfasst am: 05. Sep 2026 17:22 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Davon abgesehen halte ich es für keinen guten Weg Tensoren über Transformationsverhalten zu definieren. Besser ist es sie als algebraische Objektr zu definieren und die Transformation als Folge davon zu verstehen. |
???
Du willst also erstmal eine Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen als algebraisches Konzept einführen?
Ich weiß nicht, ob das so eine tolle Idee ist. Es gibt Zeilenvektoren und Spaltenvektoren, gerade weil die Welt der Vektoren und Matrizen eine in sich geschlossene kleine Welt ist.
Deshalb klappt es mit Tensoren als algebraische Verallgemeinerung von Matrizen zunächst nicht so toll. Die Tensoren müssen immer ihre eigene „kleine“ Welt bauen. Und dazu gehören sowohl die elementaren Rechenregeln, als auch die Regeln, um Indizes zu heben (to raise) oder zu senken (to lower). Wo jetzt der große Vorteil sein soll, den differentialgeometrischen Teil erstmal wegzulassen, erschließt sich mir nicht so recht.
Wenn man Tensoren in anderen Zusammenhängen verwendet, wie z.B. den Multiplikationstensor, dann hat man eh mit ganz anderen Sachen (beim Verstehen und intuitiven Vorstellen) zu kämpfen. Und bei Sachen wie dem Tensorprodukt (in der Kategorientheorie oder der linearen Algebra), ist es auch wieder seine ganz eigene Geschichte. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 05. Sep 2026 18:46 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Davon abgesehen halte ich es für keinen guten Weg Tensoren über Transformationsverhalten zu definieren. Besser ist es sie als algebraische Objektr zu definieren und die Transformation als Folge davon zu verstehen. |
???
Du willst also erstmal eine Verallgemeinerung von Vektoren und Matrizen als algebraisches Konzept einführen? |
Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen?
Spalten, Matrizen- und Zeilenvektoren erhält man durch die Wahl einer Basis und sind eine Weise die Komponenten bzgl einer Basis in einem Schema anzuordnen.
| Zitat: |
Deshalb klappt es mit Tensoren als algebraische Verallgemeinerung von Matrizen zunächst nicht so toll. Die Tensoren müssen immer ihre eigene „kleine“ Welt bauen. Und dazu gehören sowohl die elementaren Rechenregeln, als auch die Regeln, um Indizes zu heben (to raise) oder zu senken (to lower). Wo jetzt der große Vorteil sein soll, den differentialgeometrischen Teil erstmal wegzulassen, erschließt sich mir nicht so recht.
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Tensoren sind ein algebraisches Konzept, das einen Vektorraum V als Kontext braucht. Es sind nämlich entsprechend Multilinearformen über V und seinem Dualraum V*.
Tensoren sind in dem Sinne nicht als Verallgemeinerung von Matrizen zu verstehen.
Das Indexgeschubse mit den Rechenregeln ist nichts Fundamentales, sondern folgt aus der Wahl einer Basis des Vektorraums, den man als Kontext genommen hat.
Das Index hoch- und runterziehen ist in dieser Struktur nicht definiert. Dazu brauchst du auf V zusätzlich ein Skalarprodukt das zwischen kontra- und kovarianten Tensoren vermittelt. Das g fällt schließlich nicht vom Himmel, sondern muss auch erst definiert werden 
Die Begriffe der linearen Algebra eignen sich in der Physik dafür Objekte zu beschreiben, die nur globale Daten brauchen wie bspw die flache Minkowski-Raumzeit. Für lokale Beschreibungen muss man die lineare Algebra mit der Differentialgeometrie kombinieren.
Man startet von einer glatten Mannigfaltigkeit. Auf dieser kann man Tangentialräume definieren. Diese sind Vektorräume. Darauf aufbauend kann man Tangentialbündel und (r,s)-Tensorbündel definieren. Tensorfelder sind dann glatte Schnitte in Tensorbündeln.
Das ist der richtige Weg, den man beschreiten muss, um die Objekte zu verstehen von denen man redet.
Indizes hin und herschieben, machst du um konkrete Dinge in einer Karte zu berechnen, aber dadurch allein verstehst du nicht die Objekte mit denen du rechnest.
Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen.
| Zitat: |
Wenn man Tensoren in anderen Zusammenhängen verwendet, wie z.B. den Multiplikationstensor, dann hat man eh mit ganz anderen Sachen (beim Verstehen und intuitiven Vorstellen) zu kämpfen. Und bei Sachen wie dem Tensorprodukt (in der Kategorientheorie oder der linearen Algebra), ist es auch wieder seine ganz eigene Geschichte. |
Kategorientheorie braucht man an dieser Stelle tatsächlich nicht. Was meinst du mit Multiplikationstensor? Das Tensorprodukt ist eine Folgedefinition nachdem du Tensor definiert hast.
Wenn man Tensoren als indizierte Größen mit einer Transformationseigenschaft auffasst, ist das Verständnis eh sehr begrenzt.
Ich vertrete die Meinung, dass man auf Komponenten, Indizes ... solange es geht verzichten sollte und erst wenn es wirklich notwendig ist, verwenden sollte. Zum Beispiel, um eine konkrete Berechnung durchzuführen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2026 19:09 Titel: |
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Das ist die mathematische Sichtweise, und damit hast du aus dieser aus Recht.
Ich bezweifle aber, dass es für die meisten Physiker ein sinnvoller Zugang ist. Was diese meist wissen müssen ist, wie sich Tensoren bzw. Tensorfelder transformieren. Indizes können dabei auch abstrakt verstanden werden, das hilft:
https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_index_notation
Tensoren als lineare Abbildungen braucht in der Physik praktisch niemand. Karten braucht es vor der allgemeinen Relativitätstheorie auch nicht, weil eine (triviale) immer ausreicht.
Dass das alles aus Sicht der Mathematik unsauber ist, verhindert aber keine Master-Abschluss und keine Promotion in der theoretischen Physik.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 05. Sep 2026 20:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das ist die mathematische Sichtweise, und damit hast du aus dieser aus Recht.
Ich bezweifle aber, dass es für die meisten Physiker ein sinnvoller Zugang ist. Was diese meist wissen müssen ist, wie sich Tensoren bzw. Tensorfelder transformieren. Indizes können dabei auch abstrakt verstanden werden, das hilft:
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Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. Natürlich ist das unbefriedigend.
| Zitat: |
Tensoren als lineare Abbildungen braucht in der Physik praktisch niemand. Karten braucht es vor der allgemeinen Relativitätstheorie auch nicht, weil eine (triviale) immer ausreicht.
Dass das alles aus Sicht der Mathematik unsauber ist, verhindert aber keine Master-Abschluss und keine Promotion in der theoretischen Physik. |
Natürlich ist die Unkenntnis nicht hinderlich für die Karriere, da das System so ausgelegt ist, dass du ohne dieses Hintergrundwissen weiter kommst.
Ich halte das aber für einen Missstand in unserem Bildungssystem.
Mich hatte die Physikerliteratur immer verwirrt zurückgelassen. Erst als ich gelernt habe wie diese Objekte sauber definiert werden und wie man den Physikersprech in eine saubere Sprache übersetzt habe ich es verstanden.
Es gibt ja viele weitere Begriffe, die in der Physik problematisch sind.
Um einige zu nennen: Spinor, Deltafunktion, verallgemeinerte Eigenvektoren, hermitescher Operator, ...
Ich hatte bspw mit dem Thorsten Fließbach in die allgemeine Relativitätstheorie gestartet und wurde verwirrt zurückgelassen. Erst als ich eine rigorose Einführung von Frederik Schuller gesehen habe, habe ich es verstanden.
Es ist wichtig vernünftig zu verstehen was Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge, Tensorfelder, Faserbündel, pushforward, lieableitung ... ist, wenn man die ART verstehen möchte. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2026 23:36 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. |
Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht mathematisch definiert haben. Die Quantenfeldtheorie ist seit ihren Ursprüngen bis heute mathematisch nicht definiert; ca. ein Dutzend Physiker haben aber Nobelpreise für Arbeiten erhalten, die auf dieser Basis den gesamten bekannten Mikrokosmos erklären.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Ich halte das aber für einen Missstand in unserem Bildungssystem. |
Heisenberg hat die erste Formulierung der Quantenmechanik – die Matrizenmechanik – entwickelt, ohne Matrizen zu kennen.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Mich hatte die Physikerliteratur immer verwirrt zurückgelassen. Erst als ich gelernt habe wie diese Objekte sauber definiert werden und wie man den Physikersprech in eine saubere Sprache übersetzt habe ich es verstanden.
Es gibt ja viele weitere Begriffe, die in der Physik problematisch sind.
Um einige zu nennen: Spinor, Deltafunktion, verallgemeinerte Eigenvektoren, hermitescher Operator, ... |
Ich weiß jetzt zwar nicht, was am Konzept der Spinoren nach Pauli und Dirac problematisch sein soll, aber egal. Du hast vollkommen recht, Physiker gehen teilweise schlampig mit derartigen Begriffen um.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Ich hatte bspw mit dem Thorsten Fließbach in die allgemeine Relativitätstheorie gestartet und wurde verwirrt zurückgelassen. Erst als ich eine rigorose Einführung von Frederik Schuller gesehen habe, habe ich es verstanden. |
Der Thorsten hat es geschafft, ein Physikbuch über die ART zu schreiben, das die Studenten da abholt, wo sie stehen.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Es ist wichtig vernünftig zu verstehen was Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge, Tensorfelder, Faserbündel, pushforward, lieableitung ... ist, wenn man die ART verstehen möchte. |
Dann hat Einstein die ART nicht verstanden; Schwarzschild nicht, Friedmann nicht, und andere wohl ebenfalls.
Der Punkt ist, dass Mathematik und Physik völlig andere Qualitätskriterien haben; in der Mathematik entscheidet formale Korrektheit und der lückenlose Beweis, in der Physik entscheidet die Natur. Letztere scheint da gnädiger zu sein als du 😉
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 06. Sep 2026 01:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht definiert haben. |
Damit arbeiten sie mit Objekten, die sie vorher nicht mathematisch definiert haben. Die Quantenfeldtheorie ist seit ihren Ursprüngen bis heute mathematisch nicht definiert; ca. ein Dutzend Physiker haben aber Nobelpreise für Arbeiten erhalten, die auf dieser Basis den gesamten bekannten Mikrokosmos erklären.
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Deswegen finde ich die Quantenfeldtheorie auch unbefriedigend . Bei den QFTs ist eh noch nicht das letzte Wort gesprochen.
| Zitat: |
Ich weiß jetzt zwar nicht, was am Konzept der Spinoren nach Pauli und Dirac problematisch sein soll, aber egal. Du hast vollkommen recht, Physiker gehen teilweise schlampig mit derartigen Begriffen um. |
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Ich weiß nicht wie Pauli und Dirac damit umgegangen sind, aber es fällt unter dieselbe Kategorie wie Tensor. Man definiert es nicht und betrachtet das Transformationsverhalten, was sich von dem der Tensoren unterscheidet statt eine saubere Behandlung über Darstellungstheorie und Clifford Algebren.
| Zitat: |
Dann hat Einstein die ART nicht verstanden; Schwarzschild nicht, Friedmann nicht, und andere wohl ebenfalls. |
Ich verstehe, dass historisch die Dinge nicht so klar sind, wenn man Neuland betritt und man sich empor irrt, aber muss man Jahrzehnte später, wenn man diese Dinge besser verstanden hat, in der Bildung den historischen Weg als Vorbild nehmen? Auch historische Artefakte wie Welle-Teilchen-Dualismus oder "relativistische Massenzunahme" sind in der Lehre nicht totzukriegen.
Über die Jahre werden Begriffe geschärft und diese geschärften Begriffe sollten dann auch Einzug in die Lehre finden, während historischer Ballast abgeworfen werden sollte.
Muss man nach den Arbeiten von Schwartz, Gelfand et al wirklich noch die Deltafunktion und verallgemeinerte Eigenzustände in der Physik so behandeln? Für mich gehören auch zu jeder guten Quantenmechanikvorlesung Maßtheorie, POVMs, Sobolevräume und das Spektraltheorem.
| Zitat: |
Der Punkt ist, dass Mathematik und Physik völlig andere Qualitätskriterien haben; in der Mathematik entscheidet formale Korrektheit und der lückenlose Beweis, in der Physik entscheidet die Natur. Letztere scheint da gnädiger zu sein als du 😉 |
Und dann habe ich das Gefühl, dass Physiker manchmal nicht wissen was sie da tun.
Vielleicht liegt es auch einfach nur an mir.
Menschen verwenden auch im Alltag Begriffe wie Energie und Temperatur ohne sie definieren zu können. Das funktioniert ja auch irgendwie  . |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 06. Sep 2026 02:28 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen? |
Eine Matrix ist ein parametrisierter Datentyp. Als Matrixelemente kann man problemlos auch Elemente eines Halbrings zulassen. Spalten- und Zeilenvektoren sind jeweils entartete Matrizen, mit nur einer Spalte, oder nur einer Zeile.
| Zitat: | Tensoren sind ein algebraisches Konzept, das einen Vektorraum V als Kontext braucht. Es sind nämlich entsprechend Multilinearformen über V und seinem Dualraum V*.
Tensoren sind in dem Sinne nicht als Verallgemeinerung von Matrizen zu verstehen. |
Dem zweiten Teil stimme ich voll und ganz zu.
Bei der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kommen tatsächlich bilineare Abbildungen vor, insofern gehört es tatsächlich zur multilinearen Algebra. Und um den Dualraum V* kann man sich auch kaum drücken. So weit gebe ich auch dem ersten Teil Recht. Aber die „Reinterpretation“ eines Vektors als Linearform auf dem Dualraum ist aus meiner Sicht zuviel des Guten. Das stiftet am Ende nur Verwirrung bei den Studenten.
| Zitat: | | Das Index hoch- und runterziehen ist in dieser Struktur nicht definiert. Dazu brauchst du auf V zusätzlich ein Skalarprodukt das zwischen kontra- und kovarianten Tensoren vermittelt. Das g fällt schließlich nicht vom Himmel, sondern muss auch erst definiert werden |
Gut, kann sein, dass es Anwendungen gibt, wo kein sinnvolles Skalarprodukt gegen ist. Aber ganz sicher bin ich mir nicht. Auch bei einem Spannungstensor in der Mechanik wird doch am Ende schlicht die normale Euklidische Metrik das „sinnvolle“ Skalarprodukt liefern.
| Zitat: | | Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen. |
Sind jetzt mehr die Indizes/Koordinatendarstellung das Problem, oder die Definition über Transformationsverhalten?
Es gibt glaube ich drei Möglichkeiten, den Tangentialraum zu definieren. Eine davon war über das Transformationsverhalten, eine war über Derivationen, und eine fällt mir gerade nicht mehr ein. Aber alle drei waren glaube ich jede für sich auf ihre Art häßlich. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 06. Sep 2026 09:10 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Vektoren und Matrizen sind ein algebraisches Konzept. Möchte man Vektoren verstehen, muss man lineare Algebra lernen. Da führt kein Weg dran vorbei. Wie soll das denn anders gehen? |
Eine Matrix ist ein parametrisierter Datentyp. Als Matrixelemente kann man problemlos auch Elemente eines Halbrings zulassen. Spalten- und Zeilenvektoren sind jeweils entartete Matrizen, mit nur einer Spalte, oder nur einer Zeile. |
Wenn du Matrix in diesem erweiterten Sinn verstehst dann ja, wobei meistens die Menge der Elemente auf Körper oder Ringe explizit eingeschränkt wird, da es viele Dinge wie bspw Determinanten sonst nicht gibt.
| Zitat: |
Aber die „Reinterpretation“ eines Vektors als Linearform auf dem Dualraum ist aus meiner Sicht zuviel des Guten. Das stiftet am Ende nur Verwirrung bei den Studenten.
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Wenn es nur darum geht zu verstehen was ein Vektor ist, brauchst du es nicht. Wenn es aber darum geht zu verstehen was ein Vektor in einem Tensorsinne ist, brauchst du es.
| Zitat: |
| Zitat: | | Ich bin kein Freund davon Tensoren als indizierte Größen, die auf eine bestimmte Weise transformieren, einzuführen. |
Sind jetzt mehr die Indizes/Koordinatendarstellung das Problem, oder die Definition über Transformationsverhalten?
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Die Definition über das Transformationsverhalten. Nachdem man definiert hat was ein Tensor ist, halte ich es auch für notwendig die komponentendarstellung bezüglich einer (Hamel)basis zu verstehen. Schließlich braucht man das für konkrete Berechnungen.
| Zitat: |
Es gibt glaube ich drei Möglichkeiten, den Tangentialraum zu definieren. Eine davon war über das Transformationsverhalten, eine war über Derivationen, und eine fällt mir gerade nicht mehr ein. Aber alle drei waren glaube ich jede für sich auf ihre Art häßlich. |
Mit der dritten Möglichkeit meinst du wahrscheinlich über Äquivalenzklassen von Kurven.
Hässlich finde ich nur die über das Transformationsverhalten. Ich weiß nicht was an den anderen beiden Möglichkeiten hässlich sein soll. Persönlich bevorzuge ich Derivationen, greife aber gelegentlich auf die Kurvendefinition zurück.
Erst definierst du die Objekte, dann kannst du untersuchen wie sie sich transformieren. Das ist meiner Meinung nach die richtige Reihenfolge. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2026 09:40 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Deswegen finde ich die Quantenfeldtheorie auch unbefriedigend . Bei den QFTs ist eh noch nicht das letzte Wort gesprochen. |
Nun, eines der Millennium-Probleme dreht sich genau darum.
Wenn man QFTs mathematisch auf ein konsistentes Fundament stellen könnte, wäre das sicher interessant. Physikalisch ist es vermutlich irrelevant, denn als effektive Theorien funktionieren sie ohnehin, und ob QFTs bis zu beliebigen Skalen die richtige Beschreibung der Natur darstellen, darf unabhängig von der Mathematik bezweifelt werden.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Ich weiß nicht wie Pauli und Dirac damit umgegangen sind, aber es fällt unter dieselbe Kategorie wie Tensor. Man definiert es nicht und betrachtet das Transformationsverhalten, was sich von dem der Tensoren unterscheidet statt eine saubere Behandlung über Darstellungstheorie und Clifford Algebren. |
Aber warum genau?
Dirac betrachtet 4*4 Matrizen die sich unter Lorentz-Transformationen wie Vektoren transformieren, und findet 4-Tupel, die letztlich Elektronen und Positronen beschreiben.
Die Definitionen und Berechnungen dazu sind mathematisch vollständig korrekt und konsistent. Dass Sie nicht innerhalb des von dir genannten Rahmens verortet sind, ist vielleicht ein mathematischer Makel, physikalisch zunächst völlig irrelevant. Es bleibt für viele auch irrelevant, weil kein unmittelbarer zusätzlicher physikalischer Nutzen aus dem von dir genannten Rahmen folgt.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe, dass historisch die Dinge nicht so klar sind, wenn man Neuland betritt und man sich empor irrt, aber muss man Jahrzehnte später, wenn man diese Dinge besser verstanden hat, in der Bildung den historischen Weg als Vorbild nehmen? Auch historische Artefakte wie Welle-Teilchen-Dualismus oder "relativistische Massenzunahme" sind in der Lehre nicht totzukriegen.
Über die Jahre werden Begriffe geschärft und diese geschärften Begriffe sollten dann auch Einzug in die Lehre finden, während historischer Ballast abgeworfen werden sollte. |
Da stimme ich dir absolut zu, deine Kritik an den hier genannten Punkten ist völlig berechtigt.
Aber man sollte aufpassen, nicht das Kind mit dem Bade auszuschütten. Ich habe gerade mal wieder in den Weinberg I reingeschaut. Man merkt dem Buch an, dass es von einem Praktiker geschrieben wurde. Lorentz-Symmetrie und Spinoren werden im wesentlichen so eingeführt, wie man das allenthalben in der Physik kennt, also vermutlich nicht so, wie der Mathematiker das erwartet. Aber das ist eben für den Physiker kein historischer Ballast, sondern man darf damit in der QFT heute exakt so rechnen wie schon zu Feynmans Zeiten. Es sind schlicht nicht die Probleme, die die Physiker mit der QFT haben, oder andersherum, eine andere mathematische Darstellung dieser Konzepte ist für die meisten Physiker Ballast und löst für diejenigen, die heute an den Grundlagen arbeiten, deren Probleme trotzdem nicht.
Es ist ja auch keine Frage der absoluten Bewertung sondern eine der Praktikabilität und Notwendigkeit innerhalb des jeweiligen Fachbereichs.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Muss man nach den Arbeiten von Schwartz, Gelfand et al wirklich noch die Deltafunktion und verallgemeinerte Eigenzustände in der Physik so behandeln? Für mich gehören auch zu jeder guten Quantenmechanikvorlesung Maßtheorie, POVMs, Sobolevräume und das Spektraltheorem. |
Aufgrund der Dichte des Stoffs wäre das wohl erst QM III. Ich habe selbst zu QM I und II Übungsgruppen und Seminare betreut, und weiß, dass wahrscheinlich 80% der Leute gerade mal so mit dem Stoff zurechtkommen.
Der eigentliche Fehler ist ein ganz anderer!
Es ist völlig irrelevant, wie man mit der delta-Funktion und ebenen Wellen mathematisch genau umgeht, das Problem ist, dass das Märchen der "verallgemeinerten Eigenzustände" aus physikalischen Gründen Blödsinn ist. Es gibt in der Natur ganz sicher keine ebenen Wellen sondern nur Wellenpakete, und genausowenig gibt es delta-Funktionen im Impulsraum. Beides sind nur idealisierte Rechenwerkzeuge, aber die Zuschreiben dieser Größen zu "asymptotischen Zuständen" im Sinne der Wirklichkeit ist natürlich Käse.
Wenn ich also psi als einen Zustand betrachte, der die Wirklichkeit beschreibt, und p als als ebensolchen, dann ist der mathematische Fehler sicher das
der physikalische schlimmere aber
Man verwechselt Integrale, in den ebene Wellen auftreten, mit ebenen Wellen, die angeblich in der Realität auftreten. Letztlich ist das der kompakten aber auch schlampigen Notation und dem mindestens ebenso schlampigen Sprachgebrauch rein auf physikalischer Ebene geschuldet.
Der Satz "nach einer Messung befindet sich das gemessene System in einem Eigenzustand des jeweiligen Operators", führt mathematisch zu dem Problem, "verallgemeinerte Eigenzustände des Impulsoperators" betrachten zu müssen, die dann z.B. ein Photon beschreiben sollen. Physikalisch führt er zu dem viel gravierenderen Problem, dass das Photon nach der Messung einfach nicht mehr da ist (und dass es vor der Messung sicher auch nicht in einem "verallgemeinerten Eigenzustand" vorlag). Ähnlich mit einlaufenden Wellen.
Der eigentliche historische Ballast ist also nicht die schlampige mathematische Formulierung, sondern die physikalisch falsche Darstellung, die erst zu letzterer zwingt. Repariert man nicht die Physik sondern führt nur präzise Mathematik ein, bleibt die Physik, immer noch falsch. Das trifft nun nicht auf alle von dir genannten Probleme zu, aber auf die oben genannten und von mir zitierten eben schon.
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Und dann habe ich das Gefühl, dass Physiker manchmal nicht wissen was sie da tun.
Vielleicht liegt es auch einfach nur an mir. |
Es liegt vermutlich daran, dass du nie wirklich Physik betrieben hast, sondern immer nur kopfschüttelnd den Physikern dabei zugesehen hast, wie sie das machen.
Wenn ein Ballet-Trainer die Bewegungen eines Thomas Müller analysiert, kommt er auch zu der Auffassung, dieser mache ganz viel falsch, tut er aber im Rahmen seiner Sportart nicht.
Evtl. gibt es da eine grundlegende Inkompatibilität in der Denkweise.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 06. Sep 2026 16:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2026 10:21 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Erst definierst du die Objekte, dann kannst du untersuchen wie sie sich transformieren. Das ist meiner Meinung nach die richtige Reihenfolge. |
Und genau das hat bei Dirac so nicht funktioniert.
Dirac wollte eigentlich ein anders Problem lösen, er wollte keine Spin-1/2 Felder und Antiteilchen einführen, sondern er wollte von der Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit wegkommen. Vermutlich wollte er auch keine mehr-komponentigen Größen einführen, er hat lediglich erkannt, dass er das tun muss, weil ihm andernfalls die Algebra nicht aufgeht.
D.h. der erste Ausgangspunkt, nämlich erst die Größen psi dazu definieren, war nicht möglich.
Hat man erkannt, dass man mehr-komponentige Größen braucht (also in dem Fall Matrizen über reellen oder komplexen Zahlen), dann muss man
1) deren Antikommutator fordern
2) und deren Transformationseigenschaft
denn beides ist ja durch die Eigenschaften der Differentialgleichung vorgegeben.
Für die Gleichung brauchte er vier Matrizen, also sollte man ihn nicht dafür kritisieren, dass er nicht erst alle 16 definiert hat.
Hätte es nun bereits alle Darstellungen der Lorentz- und Spin-Gruppen und Cartan-Algebren gegeben, dann hätte er das entsprechende Mathebuch rausgeholt und sukzessive einige Darstellungen durchprobiert. Nachdem es dieses Mathebuch aber nicht gab (oder weil es ihm nicht bekannt war), musste er sozusagen die Rohfassung des einführenden Kapitels selber schreiben.
Wie sollten man das aus heutiger Sicht besser machen?
Meines Erachtens nicht, dass man Physiker erst mal wochenlang Elie Cartans Werk einzutrichtern versucht
https://www.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf
sondern dass man exakt Dirac Weg nachvollzieht, weil man dabei etwas Entscheidendes über physikalisches Denken lernt: wie gelange ich von einigen festen und einigen zur Disposition stehenden Annahmen schrittweise und auf Basis physikalischer Argumente zu einem erweiterten Formalismus, der neue physikalische Probleme beschreibt bzw. löst?
Würde man nur ein gutes Mathematikbuch zitieren, würde genau das verloren gehen, wobei außerdem immer noch die offene Frage bestehen bleibt, welche Darstellung es denn nun genau sein soll, das kann einem der Mathematiker auch nicht sagen. Hätte Dirac nicht seinen Weg eingeschlagen und wäre ihn zu Ende gegangen, hätte er auch den Nobelpreis nicht bekommen (Cartan hat jedenfalls keinen gekriegt)
Das alles heißt nun nicht, dass man das heute nicht in einer guten Darstellung abschließend zusammenfasst, an der mathematischen Präzision nachbessert und ggf. auf reine Mathematik verweist.
An den folgen Papieren wird übrigens noch etwas klar:
https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/117/778/610/2242/The-quantum-theory-of-the-electron
https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/118/779/351/2298/The-quantum-theory-of-the-Electron-Part-II
Die Einführung der Spinoren ist Kinderkram im Vergleich zu den bereits hier präsentierten physikalischen Ergebnissen. Und daran hat sich auch in 100 Jahren nichts geändert.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Yoshi2000
Gast
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| Yoshi2000 Verfasst am: 07. Sep 2026 21:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es liegt vermutlich daran, dass du nie wirklich Physik betrieben hast, sondern immer nur kopfschüttelnd den Physikern dabei zugesehen hast, wie sie das machen.
Wenn ein Ballet-Trainer die Bewegungen eines Thomas Müller analysiert, kommt er auch zu der Auffassung, dieser mache ganz viel falsch, tut er aber im Rahmen seiner Sportart nicht.
Evtl. gibt es da eine grundlegende Inkompatibilität in der Denkweise. |
Es geht dabei vielleicht auch um die Frage welche Erwartung man an die Physik stellt.
Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft.
Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das? |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 07. Sep 2026 22:02 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft. |
Ich bin zwar Instrumentalist, aber was hat das damit zu tun?
| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | | Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das? |
Ich finde, bei meinen Geometrischen Betrachtungen bei klassischen Differentialoperatoren habe ich einst in Abschnitt "2.1 Objekte und ihr Transformationsverhalten" ein wunderbar klares Bild der Objekte gezeichnet, insbesondere "Abbildung 7: Wirkung der Transformation" gefällt mir auch heute noch auf Anhieb. (Auch "Abbildung 9: Kanonische Begradigung" finde ich immer noch wunderbar.) Im Prinzip will man doch schnell zu schönen interessanten Themen vorstoßen, und den Leser nicht schon bei den Definitionen der betrachteten Objekte verlieren.
Außerdem geht es unausgesprochen noch um was ganz anderes: Ich versuche dem Leser zu vermitteln, wie ich mir die Objekte, die Rechnungen mit ihnen, und die Formeln und Theoreme in meinem Kopf vorstelle. Deshalb schweige ich ganz lange zu alternierenden Differentialformen, und erwähne sie erst wo sie wirklich relevant sind. Denn ich kann mir Objekte mit 2^n Komponenten eben nicht mehr anschaulich in meinem Kopf vorstellen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2026 23:01 Titel: |
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| Yoshi2000 hat Folgendes geschrieben: | Es geht dabei vielleicht auch um die Frage welche Erwartung man an die Physik stellt.
Betrachtet man die Physik als ein Instrument mit dem man Messwerte vorhersagen kann oder erwartet man, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft.
Letzteres erzwingt meiner Meinung nach, dass man genauer fasst, was die Objekte sind, die die Theorien enthalten und das wiederum erfordert ein mathematisch klareres Bild oder wie siehst du das? |
Nun bin ich tatsächlich der Meinung, dass die Physik auch ontologische Fragestellungen betrifft, und stimme dir in dieser Hinsicht auch zu, dass dies ein mathematisch klareres Bild erfordert. Aber das ist ein Randthema, und damit muss man nicht jeden behelligen.
Generell bin auch der Meinung, dass die mathematische Qualität guter Lehrbücher i.A. ausreichend ist. Es ist nicht unbedingt notwendig, den vollständigen formalen Rahmen darzustellen, wichtig ist, dass er existiert, und dass man Themen dort verorten kann, wenn die Notwendigkeit oder das Interesse besteht.
Außerdem haben wir – wie oben gesagt – das grundlegende Problem, dass wir ein mathematisch sehr präzises Bild der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie haben, diese beiden Disziplinen m.M.n. jedoch überholt sind, was die Ontologie betrifft. Und das beste Bild, das wir physikalisch haben – die Quantenfeldtheorie – hat kein Problem mit unsauberen Darstellungen, sondern entweder
a) mit mathematisch hochproblematischen jedoch physikalisch zutreffenden Darstellungen, oder
b) mit mathematisch sauberen jedoch physikalisch trivialen und daher irrelevanten Darstellungen im Rahmen aQFTF.
Mathematisch präzise Darstellungen der nicht-relativistischen Quantenmechanik liefern ontologisch nichts interessantes da physikalisch überholt; mathematisch präzise Darstellung der relativistischen algebraischen Quantenfeldtheorie liefern (zumindest bisher) in vier Dimensionen keine wechselwirkenden Theorien. Deswegen brauchen wir keine saubereren Darstellungen von Theorien, die uns physikalisch nicht weiterbringen, sondern neue Ansätze, die dieses Potential haben.
Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen.
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 07. Sep 2026 23:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen. |
Was hältst Du von How I Learned to Stop Worrying and Love QFT? Zu wenig und zu irrelevant? Oder mathematisch immer noch zu unsauber? Oder konzeptuell nicht ehrgeizig genug?
Konzeptuell ehrgeiziger ist eventuell Reverse Quantum Mechanics. So steht im Abstract: | Zitat: | | The standard Hilbert-space formulation conflicts with basic physical requirements, while a minimal topological modification can solve these problems. The ensemble space, rather than the pure-state space, distinguishes classical from quantum systems. |
und später im Text
| Zitat: | | As we will see, Reverse Physics for quantum mechanics is significantly harder: the standard postulates do not neatly correspond to separate physical assumptions; in fact, there is a significant mismatch between the mathematical definitions and the physical objects they supposedly represent. No perfect interpretation or reconstruction of quantum mechanics, then, is possible within the current established mathematical framework. Since this final goal is not obtainable, we will use ... |
Was er macht scheint nicht schlecht, aber ein bisschen in der Art von: "Solange ... kann man nicht Vollgas geben, sondern muss erstmal ..."
Eigentlich müsste einiges von dem, was er macht und schreibt im Sinne von Yoshi2000 sein, aber ... so kommt man ja kaum vom Fleck. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 09. Sep 2026 23:48 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn mathematisch da bereits etwas vernünftiges vorliegt, ist mir das bisher entgangen. |
Was hältst Du von How I Learned to Stop Worrying and Love QFT? Zu wenig und zu irrelevant? Oder mathematisch immer noch zu unsauber? Oder konzeptuell nicht ehrgeizig genug? |
Alles, was die perturbativen Methoden betrifft, kann ich aus der eigenen Praxis wenig beurteilen.
Ein paar Gedanken: Es ist keine mathematisch rigoros konstruierte und zugleich nicht-triviale QFT in 4 Dimensionen bekannt; nur dim < 4, oder nicht wechselwirkend = frei = trivial. Das Pfadintegral ist nicht definiert; das euklidische Pfadintegral kann m.W.n. definiert werden, aber die Gültigkeit der Wick-Rotation ist nicht bewiesen.
2.3 und 2.4 erklärt ganz gut, unter welchen Umständen asymptotische Reihen verwendet werden können; das Argument funktioniert jedoch nur, wenn man die exakte Lösung kennt. In der QFT ist das nicht der Fall, es bleibt das Prinzip Hoffnung, siehe 2.5.
Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind. Nicht-perturbative Methoden auf dem Gitter leiden unter dem Fermion-Doubling, das m.W.n. nicht wirklich gelöst ist. Die Eichfixierung für nicht-abelsche Eichtheorien ist m.W.n. aufgrund der Gribov-Kopien nicht endgültig verstanden.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermion_doubling
https://en.wikipedia.org/wiki/Gribov_ambiguity
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 14. Sep 2026 16:51 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind. |
Ich lese das mal als "nicht ehrgeizig genug", aber nicht auf konzeptioneller Ebene, sondern auf der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen.
Das Problem mit dem Fermion-Doubling hatte ich auch von anderen schon gehört. Ist halt mal wieder etwas, was nicht schön ist, aber nicht notwendigerweise ein Showstopper oder falsch.
Von der Gribov Ambiguity hatte ich noch nie gehört, obwohl das ja gerade eines meiner Themen ist, dass Quotientenbildung oft gar nicht so problemlos ist, wie man sich das wünscht. Den Artikel zur Gribov Ambiguity konnte ich bis zum Ende lesen, aber als ich dann mehr über BRST quantization lernen wollte, war der Wikipedia Artikel doch zu viel für mich.
Insgesamt sehe ich Deine Reaktion als eine Betonung der Wichtigkeit der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen. Auch "konzeptionell ehrgeizige" Arbeiten werden auf dieser konkreten Ebene kaum mehr reißen können, als die bislang besten bekannten Workarounds für diese unschönen Sachen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 14. Sep 2026 17:26 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Auf nicht-perturbative Terme geht der Autor kaum ein; mathematisch wären das z.B. Pole (Laurent-Reihe) oder Schnitte in der komplexen Ebene der Kopplungskonstanten. Praktisch erwartet man, dass z.B. das Color-Confinement und der gesamte IR-Sektor der QCD im wesentlichen nicht-perturbativ sind. |
Ich lese das mal als "nicht ehrgeizig genug", aber nicht auf konzeptioneller Ebene, sondern auf der Ebene konkreter Berechnungen und Herausforderungen. |
Letzteres kann ich kaum beurteilen.
Der perturbative Ansatz hat in den letzten Jahrzehnten gewaltige Fortschritte gemacht, da stecke ich nicht drin. Vielleicht ist meine Unterscheidung so sinnlos wie die zwischen holomorphen Funktionen und Potenzreihen; wir wissen, dass das identisch ist (was zu Beginn keineswegs offensichtlich war)
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Von der Gribov Ambiguity hatte ich noch nie gehört, obwohl das ja gerade eines meiner Themen ist, dass Quotientenbildung oft gar nicht so problemlos ist, wie man sich das wünscht. Den Artikel zur Gribov Ambiguity konnte ich bis zum Ende lesen, aber als ich dann mehr über BRST quantization lernen wollte, war der Wikipedia Artikel doch zu viel für mich. |
Vergiss die BRST-Quantisierung.
Die Gribov-Ambiguity ist zunächst das Pfadintegral-Analogon zu "Jacobian = 0". Tatsächlich ist es mehr als das, weil es auch Mehrdeutigkeiten gibt, wobei keine Determinante verschwindet.
BRST ist eine fancy-Methody um den Jacobian zu schreiben. Das kann man mit Fadeev-Popov und Grassmann-Feldern einfacher haben, löst aber nicht "Jacobian = 0".
Ich schreibe mal ein einfacheres Beispiel auf. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 15. Sep 2026 17:16 Titel: |
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| Zitat: | | … ein einfacheres Beispiel … |
Man betrachte ein Integral I[f] über einem Integranden f(x) auf einer Mannigfaltigkeit M. Man nehme an, dass für ein f auf M Koordinaten eingeführt werden können, so dass f(x') = f(x) gilt, wobei x' = g•x der Wirkung eines Elementes g aus einer Gruppe G entspricht; d.h. G•x ist der Orbit von x bzgl. G.
f(x') = f(x) entspricht der Eichsymmetrie.
Ist vol(G) endlich, so stört dies im Prinzip nicht. Im Falle eines Pfadintegrals "ist das Volumen jedoch unendlich" d.h. es bedarf einer Eichfixierung. Diese besteht darin, eine Bedingung h(x) = 0 zu finden, die über alle x und alle G für jeden Orbit exakt eine Lösung hat.
Das führt auf ein Integral
 \, f)
wobei die delta-Funktion das Integral auf h = 0 einschränkt, und Delta die Invarianz des Maßes bzgl. G auf der Untermannigfaltigkeit h = 0 sicherstellt.
Das Problem ist nun, dass dies – übertragen auf den Fall nicht-abelscher Eichtheorien – nachweislich nicht funktioniert. Für das einfache Beispiel bedeutet dies, es existiert kein h, für das gilt: G•x enthält nur eine Lösung für h, und Delta ist strikt positiv.
Leider zeigt sich das Problem in unterschiedlicher Weise je nach gewählter Eichung. In vielen Büchern zur QFT wird eine Lorentz-kovariante Eichung gewählt, die das eigtl. Problem verschleiert. Das besteht darin, dass die Komponente A° des Eichfeldes nicht-dynamisch ist, sondern einem Lagrange-Multiplikator entspricht, der einen Constraint generiert. Letzterer entspricht dem (verallgemeinerten) Gaußschen Gesetz, und dieses wiederum ist eng verwandt mit dem Generator zeitunabhängiger "residual" Eichtransformationen, die A° = 0 respektieren.
Die erste Eichfixierung entspricht daher der Forderung A° = 0, die zweite der Forderung, dass G physikalische Zustände annihiliert. Der physikalische Hilbertraum ist also gerade der Kern von G
Diese Bedingung ist außerdem zeitunabhängig, d.h.
Damit entsprechen die Größen
erhaltenen Ladungen, der physikalische Hilbertraum dem Singulet-Sektor.
Das funktioniert so in der QED und QCD, und zwar nicht nur störungstheoretisch.
Ich halte diese zweite Beschreibung des Problems, mit zwei klaren physikalischen Bedeutungen der Eichfixierungen A° = 0 und G ~ 0 für sehr sinnvoll.
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