Berechnen der Impulswellenfunktion für freies Teilchen

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hi,

mein derzeitiges Problem ist die Berechnung eben dieser Funktion für ein freien Teilchens der Masse m in einer Dimension.
Die Wellenfunktion für t = 0 ist gegeben durch

Nun soll ich phi(p,t) berechnen, ich bin mir nur unsicher wie genau.

Ist der folgende Weg richtig (grob skizziert):
- Berechne Amplituden c(k) ~

- Berechne daraus psi(x,t) ~

- Berechne daraus phi(p,t) vermöge phi(p,t) ~

Das irritierende ist, dass in der nächsten Aufgabe nach psi(x,t) gefragt ist, das ich in dieser Variante aber zwischendurch berechnen müsste.
Wobei ich gerade sehe, dass sich ja das exp(-ikx) und das exp(ikx-wt) hinsichtlicher der x abhängigkeit aufheben.

Ist der weg so richtig?

asasdasad · Gast

Offensichtlich hast c(k) irgendwas mit der von dir gesuchten Wellenfunktion in der Impulsdarstellung zutun, nur was...^^

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

c(k) entspricht den Amplituden der ebenen Wellen exp(ikw) im Wellenpaket Psi(x).
Ebene Wellen lösen die Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen (-> V identisch 0) sind jedoch nicht normierbar d.h. sind ohne Superposition nicht als physikalisch aufzufassen. Ihre Superposition jedoch lässt sich normieren, dies ergibt dann das Psi(x,t) von dem die Rede ist.

Nur kommt mir der Rechenweg viel zu umständlich vor (habe es eben tatsächlich durchgerechnet, ein Grauen).

Huggy · Anmeldungsdatum: 16.08.2012 Beiträge: 785

Das Problem ist mit

hier behandelt:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=461099

Der dortige Rechengang erscheint mir etwas transparenter:

Der Übergang zwischen Orts- und Impulsdarstellung und zurück entspricht einer Fouriertransformation/Inversen Fouriertransformation. Die Fouriertransformation der Schrödingergleichung des freien Wellenpakets in den Impulsraum ergibt dort eine mehr als simple gewöhnliche DGL, die man löst. Die freie Konstante in der Lösung ergibt sich aus der Fouriertransformaion der Anfangsbedingung

. Damit hat man die komplette Lösung

im Impulsraum. Zwschen k und p kann man in der Schreibweise wegen

beliebig wechseln. Durch inverse Fouriertransformation von

erhält man

.

Mit

geht der Rechengang in gleicher Weise. An der Durchführung der beiden Transformationen

und

kommt man nicht vorbei, wenn man sie nicht aus einer Tabelle der Fouriertransformationen entnehmen darf. In der Quantenmechanik werden konkrete Rechnungen auch bei einfachen System schnell komplex.