FAQ - Pauli-Prinzip und Austauschwechselwirkung

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21616

Da die Frage immer wieder gestellt wird, möchte ich im folgenden einige Aspekte des Pauliprinzips sowie die Austauschwechselwirkung diskutieren.

Zum Einstieg: das Pauli-Prinzip ist eine rein algebraische Eigenschaft fermionischer Zustände und hat nichts mit einer Kraft oder Wechselwirkung zu tun. Insbs. gilt es für freie Teilchen. Allerdings ergeben sich aus dem Pauliprinzip in Kombination mit bekannten Wechselwirkungen interessante quantenmechanische Effekte.

Die algebraische Formulierung besagt, dass zwei Fermionen nie exakt im selben Quantenzustand sein können. Übertragen auf Wellenfunktionen (und unter Vernachlässigung der Spins) gilt zunächst, dass der Gesamtzustand antisymmetrisch bzgl. der Vertauschung zweier Spins sein muss. Nehmen wir zwei Teilchen 1,2 sowie zwei Zustände a,b. Der Gesamtzustand lautet dann (unter Vernachlässigung der Normierungskonstanten)

D.h. dass man nur noch davon sprechen kann, dass die beiden Teilchen 1,2 die beiden Zustände a,b besetzen, nicht jedoch, welches Teilchen welchen Zustand besetzt.

Setzt man versuchsweise a = b, so folgt

was jedoch keinem gültigen Zustand entspricht. Anders gesagt, dieser Zustand existiert nicht.

Bisher haben wir überhaupt keine Wechselwirkung betrachtet, d.h. insbs. gilt dies Argumentation auch für freie Teilchen.

Nun kombinieren wir das Pauliprinzip mit einer Zweiteilchen-Wechselwirkung, wie sie klassisch durch ein Potential beschrieben wird. Im folgenden nehmen wir an, dass es sich um die Coulombwechselwirkung der Form

handelt. rho(x) steht dabei für die Ladungsdichte der beiden Teilchen.

In der Quantenmechanik erhält man den Wechselwirkungsterm aus der abstrakten Darstellung des Quantenzustandes |ab> sowie des Operators V. Auf Ebene der Wellenfunktionen führt dies dazu, dass die antisymmetrisierte Gesamtwellenfunktion verwendet werden muss. Dadurch resultiert neben dem erwarteten klassischen direkten Term D noch ein sogenannter Austauschterm A.

Zunächst gilt für die Dichte des Teilchens 1 im Zustand a

Außerdem existiert eine nicht-klassische, komplexwertige "Austausch-Dichte"

Damit resultiert zunächst der klassische Wechselwirkungsterm

sowie der nicht-klassische Austauschterm

(Bezieht man den Spin in die Betrachtung ein, so erhält man je nach Spinorientierung sowohl antisymmetrisch als auch symmetrisch mögliche Ortsraumwellenfunktionen und der Austauschterm tritt entsprechend mit unterschiedlichen Vorzeichen auf; daraus resultieren u.a. die Regeln für die Besetzung der Elektronenschalen und -orbitalen im Aufbau der Atome)

Man beachte, dass diese modifizierten Wechselwirkungsterme D und A verschwinden, wenn der Operator V verschwindet. Das Pauliprinzip entspricht also keiner Wechselwirkung, es modifiziert lediglich eine bereits existierende Wechselwirkung.