Erzwungene Schwingungen: Wagen mit Feder auf schiefer Ebene

David55 · Anmeldungsdatum: 18.03.2017 Beiträge: 1

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Wagen befindet sich auf einer schiefen Ebene. Ein über eine Rolle verlaufendes Seil verbindet ihn mit einer Feder.

Wie groß ist die Schwingungsdauer?

Die Schwingung wird einmalig mit 30 kJ angeregt, 20% davon sind kinetische Energie.

Berechnen Sie die Amplitude, mit der der Wagen anfänglich schwingt.

Durch Reibung verringert sich die Amplitude mit der Zeit. Nach welcher Zeit beträgt sie die Hälfte des ursprünglichen Wertes?

gegeben: D = 2,9 kN/m, m Wagen = 270 kg, Steigungswinkel = 10°, µ=0,1

Meine Ideen:
Für die Berechnung der Schwingungsdauer war meine Idee, zu ermitteln, wie groß die Masse ist, die auf die Feder im vertikalen Falle liegt. Wenn ich die habe, so könnte ich über w = (D/m)^0,5 T berechnen.

Die Masse im vertikalen Falle war nach meiner Idee die Masse des Wagen mal dem Sinus des Steigungswinkel minus dem Reibungskoeffizienten mal Cosinus Steigunswinkel mal der Masse des Wagen.
Da man weiß, dass 20 % der Energie kinetische Energie ist, so müsste man dann wissen, wie hoch die Spannenergie ist, und damit auch die Auslenkung der Feder.

Aber wie groß ist dann die Amplitude? Oder ist die Auslenkung der Feder bereits die Amplitude der Schwingung?

Und beim letzten Punkt mit der Reibung bin ich mir auch nicht ganz sicher.

Mein Ansatz wäre wohl:

1/0,5 = e^(Abklingkoeffizient x T)

Um die Zeit zu ermitteln, benötigt man somit den Abklingkoeffizienten. Möglicherweise könnte man den Abklingkoeffizienten berechnen mit der Formel µ/2m , wobei m dann wieder die "vertikale Masse" wäre.

Soweit wäre insgesamt mein Ansatz. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen!

Wie genau man nun nach Anregen von 30 KJ die Amplitude bestimmt, weiß ich leider nicht genau.
Mein Ansatz ist, dass man die 30 KJ auf kinetische Energie und Spannernergie der Feder aufteilt.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Hallo David55, willkommen im Forum

Zur Schwingungsdauer: diese hängt nur ab von der Masse und der Federkonstanten. Ob die Masse nun vertikal oder horizontal oder entlang einer schiefen Ebene schwingt, hat keinen Einfluss. Die Eigenfrequenz ist stets

Die Gewichts-/Hangabtriebskraft ändert nur den Nullpunkt der harmonischen Schwingung. Auch die Reibungskraft, die in der vorliegenden Aufgabe nicht geschwindigkeitsabhängig ist, ändert die Frequenz nicht. Das kannst Du überprüfen durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung

Zur Amplitude: Diese ergibt sich aus der Beziehung

jedenfalls unter der Annahme, dass bei der gegebenen Anregungsenergie die Reibunskraft noch nicht berücksichtigt wurde. Welcher Anteil davon kinetische Energie ist, spielt keine Rolle.

Zur Abnahme der Amplitude: Die Reibung soll offenbar nicht geschwindigkeitsabhängig sein, wenn man von der Dimensionslosigkeit der gegebenen Grösse

ausgeht. Anders als in den üblicherweise betrachteten Fällen der gedämpften Schwingung ist die relative Energieabnahme pro Zeit damit nicht konstant, sodass sich auch keine exponentielle Abnahme der Energie und der Amplitude ergibt. Vielmehr nimmt die Amplitude linear ab:

Mit dA/dt kann auch berechnet werden, nach welcher Zeit die Amplitude auf die Hälfte abgenommen hat.