Newtonsche Bewegungsgleichung lösen

Schrank · Gast

Meine Frage:
Ein sich mit der Geschw. v auf der x-Achse bewegendes Teilchen wird durch eine Kraft

,

abgebremst (

).

Nun soll man die Newtonschen Bewegungsgleichungen lösen und angeben, für welche n das Teilchen nach einer endlichen Laufstrecke zur Ruhe kommt und wie weit es bei geg. Anfangsdaten kommt.

Meine Ideen:
Newton-Gl.:

Lösung (Trennung d. Var.):

Ist das soweit korrekt? Wie finde ich nun heraus, für welche n es nach einer endl. Strecke zur Ruhe kommt? Das wäre ja für v=0 der Fall, aber da n ja ungleich 1 sein muss, hat das ja mit n nichts mehr zu tun, oder?

Bitte um Hilfe smile

Schrank · Gast

Ok, das scheint doch vielen hier Probleme zu bereiten, hätt ich nicht gedacht

Würde mich aber auch über Ideen/Diskussionsbeiträge freuen smile

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Zuerst einmal würde ich eine Fallunterscheidung machen.

Für n=1 kannst Du die Bremsstrecke explizit berechnen und hast damit auch gezeigt, dass die Strecke nicht divergent ist.

Für n=2, 3... erhalte ich ähnlich wie Du (wahrscheinlich habe ich die Integrationskonstante anders gewählt)

Dabei wurde angenommen, dass zu Beginn v>0 gilt. Durch Integration mittels Substitution von

kann man nun zeigen, dass x(t) für

und alle n>1 gegen unendlich geht.

Schrank · Gast

Ich verstehe das noch nicht ganz.
Also die Formel für die Bremsstrecke ist doch

Also für n=0:

Und für n=1:

Ist das so gedacht? Und wie habe ich damit gezeigt, dass die Strecke nicht divergent ist?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Diese Formel für die Bremsstrecke gilt nur bei einer konstanten Bremsbeschleunigung. Die gegebene Kraft ist aber geschwindigkeitsabhängig, die dadurch bewirkte Beschleunigung a=F/m ebenfalls (und damit nicht konstant).

In diesem allgemeineren Fall ist der Bremsweg

.

Für den Fall n=1 (der Fall n=0 tritt gar nicht auf, hab das in meinem ersten Beitrag noch korrigiert) musst Du also v(t) und die Integrationskonstante bestimmen, mit der sich die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v(0)=v_0 ergibt. Dieses v(t) hat nicht die Form wie für n>1, sondern ist exponentiell von der Zeit abhängig. Dann den Bremsweg über das Integral berechenen.

Für n>1 ergibt sich der Geschwindigkeitsverlauf v(t) wie oben angegeben, und wenn man wieder das Integral löst, sieht man, dass dieses für alle n>1 divergiert, die Laufstrecke also nicht beschränkt ist.

Schrank · Gast

Danke! Habe ich verstanden und nachgerechnet.

Bleibt nur noch die Frage, wie weit das Teilchen bei gegebenen Anfangsdaten kommt. Ich verstehe diese Frage nicht ganz, denn für n=1 ist es eben die endliche Laufstrecke

wie bereits berechnet, und für n>1 kommt es "unendlich" weit. Dann wäre ja gar nichts mehr zu rechnen. Oder verstehe ich das jetzt falsch?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Ja, das ist wohl Antwort, die verlangt wird. Für n=1 ergibt sich die Laufstrecke wie von dir angegeben, für n>1 ist die Strecke nicht beschränkt, da die Kraft zu schnell abnimmt. Dabei wäre es wahrscheinlich sinnvoll, kurz rechnerisch zu zeigen, dass das Integral und damit die Strecke gegen unendlich geht.