Dichteoperator gemittelt über Raumwinkel

Papercup · Anmeldungsdatum: 09.06.2017 Beiträge: 2

Meine Frage:
Ich sitze vor folgender Aufgabenstellung und stehe ein wenig auf dem Schlauch: Ich habe einen Dichteoperator der Form

,
wobei

der Vektor der Paulimatrizen und

ein beliebiger Einheitsvektor ist.

Zu zeigen ist, dass nach einer Mittelung über den Raumwinkel

(alle Richtungen von

sind gleich wahrscheinlich) der Dichteoperator wie folgt aussieht:

.

Wie genau ist diese Raumwinkelmittelung durchzuführen?

Meine Ideen:
Hier muss man auf ein paar Sachen aufpassen: Erstens, das Tensorprodukt ist nicht kommutativ, also heben sich die Mischterme nicht weg und man muss sie irgendwie anders wegbekommen. Außerdem ist kein Verfahren zur Mittelung über den Raumwinkel angegeben, ich denke es ist also analog zur Zeit- oder ebenen Winkelmittelung sowas wie

Da bin ich mir aber gar nicht sicher, was der Integrand ist - wenn ich einfach

ansetze, ist das Integral natürlich null.

Papercup · Anmeldungsdatum: 09.06.2017 Beiträge: 2

Hm, das war einfacher als gedacht: Man schreibt den Einheitsvektor in Kugelkoordinaten als

und dann kann man einfach nachrechnen, dass die ganzen Terme außer

, die als Vorfaktoren von

auftauchen, im Integral

verschwinden. Die, die nicht verschwinden geben gerade