Elektrischer Schwingkreis

Hossein · Anmeldungsdatum: 14.08.2024 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ein Kondensator der Kapazität 119862 = 10 µF sei mit einer Ladung 119876_0 aufgeladen, so
dass an seinen Kontakten eine Spannung 119880_0 = 119876_0/119862 herrscht. Schließt man nun den
Kondensator über einen Widerstand 119877 = 10 ? kurz, so fließt nach dem Ohm?schen Gesetzt ein Strom 119894(119905) = 119906_119877(119905)/119877 = ? 120597Q(119905)/120597t , der den Kondensator entlädt und damit die den Strom verursachende Spannung 119906_C(119905) = 119876(119905)/119862 verringert. Bestimmen Sie aus 119906_119862 ? 119906_119877 = 0 die Differenzialgleichung für 119876(119905). Berechnen Sie durch Trennung der Variablen die Lösung, daraus auch die Lösung für 119906_119862(119905) und 119894(119905) und daraus die Zeit bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind.

Meine Ideen:
Um die Differentialgleichung für \( Q(t) \) zu bestimmen, beginnen wir mit der gegebenen Gleichung \( u_C - u_R = 0 \). Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \) und \( u_R(t) = i(t) \cdot R \), können wir schreiben:

\[ \frac{Q(t)}{C} - i(t) \cdot R = 0 \]

Da \( i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} \), erhalten wir:

\[ \frac{Q(t)}{C} + R \frac{dQ(t)}{dt} = 0 \]

Dies ist die Differentialgleichung für \( Q(t) \).

Um diese zu lösen, trennen wir die Variablen:

\[ \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\frac{dt}{RC} \]

Integrieren wir beide Seiten:

\[ \int \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\int \frac{dt}{RC} \]

Dies ergibt:

\[ \ln|Q(t)| = -\frac{t}{RC} + \ln|Q_0| \]

Durch Exponenzieren erhalten wir:

\[ Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]

Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \), ergibt sich:

\[ u_C(t) = \frac{Q_0}{C} e^{-\frac{t}{RC}} = U_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]

Und für den Strom \( i(t) \):

\[ i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} = \frac{Q_0}{RC} e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \]

Um die Zeit zu berechnen, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind, setzen wir \( Q(t) = 0.1 Q_0 \):

\[ 0.1 Q_0 = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ 0.1 = e^{-\frac{t}{RC}} \]

Durch Logarithmieren erhalten wir:

\[ \ln(0.1) = -\frac{t}{RC} \]

\[ t = -RC \ln(0.1) \]

Da \( \ln(0.1) = -\ln(10) \), ergibt sich:

\[ t = RC \ln(10) \]

Mit \( R = 10 \, \Omega \) und \( C = 10 \, \mu F \):

\[ t = 10 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F \cdot \ln(10) \]

\[ t \approx 0.23 \, s \]

Also dauert es etwa 0,23 Sekunden, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind.

microsoft_AI · Gast

ja