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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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 Jakito Verfasst am: 31. Aug 2026 17:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich bin mir nicht sicher, was du mit "globale Phase" meinst:
 \to u_p^\prime(x) = e^{i\theta} \, u_p(x))
 \to u_p^\prime(x) = e^{i\theta_p} \, u_p(x))
 \to u_p^\prime(x) = e^{i\theta(x)} \, u_p(x))
... |
Ich meine
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Damit folgt
 = U \, \phi(x) \, U^\dagger = \int d^3p \, \Big[ U \, a(p) \, e^{-i\theta(p)} \, u_{p}(x) + \ldots \Big] )
Das wäre nun eine p-abhängige Phase der einzelnen Funktionen, wobei dies die o.g. Matrixelemente nicht ändert. |
Interessant, dann wäre es also tatsächlich eine Eichsymmetrie in meinem Sinne. Aber ...  oder  sind hier innerhalb des Integrals ja gar nicht sauber auf ) angewandt worden, denn das innerhalb des Integrals hätte ja auch verschwinden müssen.
Es könnte also schon sein, dass meine ursprüngliche neue Vermutung falsch war, meine allerneueste Vermutung hingegen korrekt ist, und phi(x) sich doch nicht ändert.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine echte lokale Eichsymmetrie entspräche einem Operator G, der auf allen physikalischen Zuständen Null wäre, nicht nur auf dem Vakuum. In der QED mit A°=0 noch ohne weitere Eichfixierung gilt dies für das Gaußsche Gesetz. |
Gut, um eine echte lokale Eichsymmetrie geht es also nicht. Wobei mein bei unendlichen Symmetrien der oben angedeuteten Art trotzdem manchmal von Eichsymmetrie spricht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 31. Aug 2026 17:57 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | … Aber ... oder sind hier innerhalb des Integrals ja gar nicht sauber auf angewandt worden, denn das innerhalb des Integrals hätte ja auch verschwinden müssen. |
Ich wende beide auf A dann, dann auf jedes phi(x) und pi(x) in A, dann auf a^dagger und a im Integral.
| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Es könnte also schon sein, dass meine ursprüngliche neue Vermutung falsch war, meine allerneueste Vermutung hingegen korrekt ist, und phi(x) sich doch nicht ändert. |
Doch, tut es. Habe ich doch vorgerechnet.
| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine echte lokale Eichsymmetrie entspräche einem Operator G, der auf allen physikalischen Zuständen Null wäre, nicht nur auf dem Vakuum. In der QED mit A°=0 noch ohne weitere Eichfixierung gilt dies für das Gaußsche Gesetz. |
Gut, um eine echte lokale Eichsymmetrie geht es also nicht. Wobei mein bei unendlichen Symmetrien der oben angedeuteten Art trotzdem manchmal von Eichsymmetrie spricht. |
Mit "echte Eichsymmetrie" meine ich, dass U eine Symmetrie ist, die in einen bestimmten Sektors der Theorie der Eins entspricht, wodurch außerdem unphysikalische Freiheitsgrade – bei der QED longitudinale Photonen – eliminiert werden.
Algebraisch ist das, was ich oben berechnet habe, aber zunächst mal egal, da läuft alles analog. Du kannst prinzipiell mit jeder unitären Transformation so herumspielen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 31. Aug 2026 18:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Doch, tut es. Habe ich doch vorgerechnet. |
Genau, und ich hatte Deine Rechnung nachvollzogen, und ein Fehlerchen gefunden: | Jakito hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Damit folgt
... |
... oder sind hier innerhalb des Integrals ja gar nicht sauber auf angewandt worden, denn das innerhalb des Integrals hätte ja auch verschwinden müssen. |
Dabei hatte ich die Zeile darüber benutzt:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Man berechnet also
 = e^{iG} \, a(p) \, e^{-iG} = a(p) + i[G, a(p)] + \ldots = a(p) - i \, \theta(p) \, a(q) + \ldots = e^{-i\theta(p)} a(p)) |
und sie in meinem Kopf ein wenig vereinfacht zu
 = U \, a(p) \, U^\dagger = a(p) e^{-i\theta(p)})
Es hätte also
 = U \, \phi(x) \, U^\dagger = \int d^3p \, \Big[ a(p) \, e^{-i\theta(p)} \, u_{p}(x) + \ldots \Big] )
übrig bleiben müssen, bei "korrekter" Rechnung.
Ob daraus nun folgt, dass sich phi(x) ändert, oder umgekehrt, dass es sich gerade nicht ändert, lasse ich mal offen. Zumindest ist es nicht so vollkommen offensichtlich, dass sich phi(x) tatsächlich ändern muss, wie es durch das Rechenfehlerchen erschien. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 31. Aug 2026 18:39 Titel: |
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Stimmt, das U im Integral nach dem "Damit folgt …" ist ein Kopierfehler. Lösche es, dann hast du dein Ergebnis.
phi(x) und pi(x) ändern sich.
Über den Sinn der Trf. kann man streiten.
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 31. Aug 2026 23:06 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Generell kannst du beliebige unitäre Transformationen anwenden, wenn du weißt, wie sie auf Zustände wirken. |
Ich will gar aber gar keine unitäre Transformation anwenden.
Es geht nur darum, dass Du beschrieben hast, wie man für die u_n(x) allgemeinere Funktionen als die üblichen ebenen Wellen benutzen darf. Zu Anfang schriebst Du etwas von der Wellengleichung. Dadurch ist aber die globale Phase der u_n(x) nicht festgelegt. Die Zerlegung der Delta-Funktion meiner falschen Vermutung hätte die Phase festgelegt.
Mit als Reaktion auf meine falschen Vermutung hast Du dann die FAQ geschrieben, in der Orthonormalität und Vollständigkeit die u_n(x) weiter einschränken. Und gerade bei der Vollständigkeit taucht auch eine Art Zerlegung einer Delta-Funktion auf. Aber die globalen Phasen der u_n(x) werden dadurch trotzdem nicht festgelegt.
Also bleibt bei mir die Frage, wieso diese globalen Phasen nicht relevant sind. Die echte lokale Eichfreiheit war nicht die Erklärung, wie ich aus Deiner Antwort gelernt habe. Die "nächstbeste" Erklärung wäre, dass sich phi(x) effektiv gar nicht ändert. Natürlich kann diese Erklärung falsch sein, sie ist aber trotzdem naheliegender als
| TomS hat Folgendes geschrieben: | phi(x) und pi(x) ändern sich.
Über den Sinn der Trf. kann man streiten. |
Denn was soll denn das für eine Trf. sein, die einerseits an vielen Erwartungswerten nichts ändert, aber irgendwas physikalisches doch ändert, aber von der weder Du noch ich je zuvor gehört haben? Ja, kann sein. Aber wahrscheinlicher scheint mir, dass phi(x) effektiv unabhängig von den globalen Phasen der u_n(x) ist, weil sich ja auch die Bedeutung der a_n ändert, und diese Freiheit in der Definition von phi(x) keine unitäre Transformation im eigentlichen Sinne ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2026 00:14 Titel: |
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Du musst auch keine unitäre Transformation anwenden. Ich wollte dir nur zeigen, dass du mittels dieser eine derartige Phase erhalten kannst, und dass sich gewisse Größen nicht ändern. Das war aber alles eher der Frage nach eigentlichen Problemen geschuldet, das ich vermutlich immer noch nicht verstanden habe.
Die Orthonormierung und Vollständigkeit der u_p(x) ist einfach die Voraussetzung dafür, dass die Entwicklung nach diesen sinnvoll ist; ohne Vollständigkeit ist das sinnlos, weil schlicht nicht alle relevanten Funktionen dargestellt werden können. Beides ist nicht notwendigerweise eine Einschränkung sondern in vielen Fällen automatisch gegeben, insbs. für die bekannten Wellengleichungen.
Bzgl. der globalen Phase je u_p(x) sehe ich tatsächlich das (dein) Problem nicht. Kannst du das nochmal erläutern?
Die unitären Transformationen entsprechen letztlich den kanonischen Transformationen in der klassischen Mechanik; man kann die Gleichungen eines Systems ggf. deutlich vereinfachen. Die von mir genannte Transformation sollte nur die Phase generieren, mehr nicht.
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 501
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| Telefonmann Verfasst am: 01. Sep 2026 01:34 Titel: |
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| Sonnenwind hat Folgendes geschrieben: | Das ist genau der Flaschenhals, den ich nie verstanden habe.
Wie kommt man von
, \pi(y)] = i \, \delta(x-y))
auf
, a^\dagger(k^\prime)] = \delta^{(3)}(k - k^\prime))
?
Dieses Mal wirklich rein mathematisch. |
Hallo Sonnenwind,
da möchte ich dann doch mal einen Literaturtipp abgeben. Diese und viele weiterführende Rechnungen werden in dem (alten, roten) Buch von W. Greiner, Band 7, Feldquantisierung sehr ausführlich erklärt und vorgerechnet. Das Buch eignet sich meiner Meinung nach auch recht gut zum Selbststudium. Dabei sei erwähnt, dass das Buch nicht ganz frei von Fehlern ist, die beim Nachrechnen aber recht leicht auszumachen sind.
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Freundliche Grüße, T. |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 501
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| Telefonmann Verfasst am: 01. Sep 2026 12:31 Titel: |
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TomS' Rechnungen sind sicher auch korrekt, aber da fehlen mir immer wieder die Erklärungen zur Physik und damit zu einer halbwegs anschaulichen Interpretation.
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Freundliche Grüße, T. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2026 13:26 Titel: |
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Das ist der zweite Schritt, aber dazu muss erst mal die Basis vollständig und fehlerfrei sein. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 01. Sep 2026 13:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das ist der zweite Schritt, aber dazu muss erst mal die Basis vollständig und fehlerfrei sein. |
Ich glaube, aktuell ist ein viel trivialeres Problem, dass man immer wieder nur Server-Timeouts bekommt.
Ich habe inzwischen zwar gelernt, dass meine Antwort trotzdem auf dem Server ankommt, aber es zieht die Unterhaltungen unnötig in die Länge. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 218
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| Jakito Verfasst am: 01. Sep 2026 14:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Bzgl. der globalen Phase je u_p(x) sehe ich tatsächlich das (dein) Problem nicht. Kannst du das nochmal erläutern? |
Ich habe jetzt in einem meiner QFT Bücher nachgelesen, wie es funktioniert.
Mein ursprüngliches Problem ist rückblickend, dass der Feldoperator phi(x) zunächst mal ohne Zeitabhängigkeit in meinem QFT Buch definiert ist. Weil Du aber von Lösungen der Wellengleichung gesprochen hast, gibt es aber dann anscheinend doch eine Zeitabhängigkeit. Das war ja auch Teil meiner ursprünglichen falschen Vermutung.
Ohne Zeitabhängigkeit geht es ja tatsächlich nur darum, den gegebenen Feldoperator phi(x) in irgendeiner praktischen Basis zu expandieren. Und da in diesem Fall phi(x) ja ganz unabhängig von so einer Expansion gegeben ist, ändert sich phi(x) natürlich nicht, wenn ich die Basisvektoren mit willkürlichen Phasenfaktoren multipliziere.
Den Feldoperator phi(x) kann man z.B. verwenden, um einen Teilchendichteoperator rho(x) zu bekommen, der einem z.B. bei einem externen Potential einen "potentielle Energie" Operator gibt. (Der Term mit m^2 im Hamiltonian der Klein-Gordon Gleichung ist auch so eine Art "potentielle Energie" (diesmal ohne externes Potential), der vermutlich rho(x) benützen kann.)
Wenn man phi(x) nun eine Zeitabhängigkeit spendiert, dann hängt er ja irgendwie von dem Lagrangian der QFT ab, was es mir schwerer macht, mir phi(x) als ganz unabhängig von den u_n(x) gegeben vorzustellen. Deshalb entstand bei mir dann die Frage, ob phi(x) z.B. von willkürlichen globalen Phasen der u_n(x) abhängt.
Zuletzt bearbeitet von Jakito am 01. Sep 2026 15:30, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21616
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2026 14:56 Titel: |
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Ah, ok.
Wenn man eine explizite Zeitabhängigkeit haben möchte, dann kann es nur die der freien Theorie sein, denn die der wechselwirkenden kennt man ja nicht.
Ich schau mir das nochmal an, nicht weil ich das alles erklären will, sondern weil ich nichts irreführendes oder gar falsches schreiben möchte.
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