Wellenfunktion von Dirac auf Koordinatenform bringen

mirror · Anmeldungsdatum: 30.09.2007 Beiträge: 3 Wohnort: Göteborg

Hallo zusammen,

ich mache gerade mein Auslandssemester in Göteborg und belege dort einen Quantenmechanikkurs. Leider hab ich mit der Materie so meine argen Schwierigkeiten.

Hiermal zwei Aufgaben, bei denen ich gerne gewusst hätte, wie man an die am besten dran geht.

Aufgabe 1:

Man soll die Wellenfunktion

in Koordinaten Form bringen, dabei ist p der Impulsoperator, l eine konstante Länge und

ist der Grundzustand des harmonischen Oscillators.

Weiterhin soll man

benutzen.

Dann wird noch nach der Wahrscheinlichkeit, den Zustand im Grundzustand für t=0, bzw. für

gefragt

Aufgabe 2:

Zeige das alle Eigenwerte eines Einheitsvektors im Hilbertraum komplexe Zahlen mit dem Betrag 1 sind.
(Hier hab ich gar keine Ahnung)

Würd mich freuen, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet;
Schonmal vielen Dank.

Schöne Grüße aus Schweden

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

zu 1)
Wie ist denn die Wirkung des Impulsoperators auf eine Ortswellenfunktion?

Weiters bedenke, dass

Man kann daher die Wirkung des unitären Operators

auf die infenitesimale Version des Operators zurückführen, indem mam letzteren öfter (hintereinander) anwendet. Der Rest ist einfach: wenn du rausfindest was der Opetrator für infenitesimales dl bewirkt, so weisst du, was passiert, wenn man ein endliches l hat.

zu 2)
Was sind die Eigenwerte eines Vektors ? Ich kenne nur Eigenwerte eines Operators. grübelnd

mirror · Anmeldungsdatum: 30.09.2007 Beiträge: 3 Wohnort: Göteborg

Hi schnudl,

vielen Dank für die schnelle Antwort; werd mich an Aufgabe 1 gleich mal versuchen;

zu Aufgabe 2: es muss wie vermutet statt Vektor richtigerweise Operator heißen, war etwas zu schnell mit der Übersetzung aus dem Englischen.

Danke und weiterhin schönen Sonntag,

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Du meinst wohl einen Unitären Operator (unitary operator), hmmm?

Ein solcher ist definiert als

Eigenwertgleichung:

und die dazu konjugierte Gleichung

Daher

Ansatz (A und

reell) für beliebige komplexe Zahl :

Daher muss sein

q.e.d.